Schnittgerade zweier Ebenen – Parameterform
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=EvjBrgaD4t8

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Hallo ihr Lieben, heute möchte ich euch an diesem Beispiel zeigen, wie man die Schnittgerade von zwei Ebenen bestimmen kann, die beide in Parameterform gegeben
0:09 sind. Die Schnittgerade entsteht ja, wenn man zwei Ebenen miteinander schneidet. Da haben wir hier diese Schnittgerade. Also wir haben nicht nur
0:20 einen Schnittpunkt, sondern eine komplette Schnittgerade von diesen beiden Ebenen. Und wie man diese Gerade findet, das möchte ich euch hier an
0:29 diesem Beispiel zeigen. Solange ihr eure beiden Ebenen in Parameterform vorliegen habt, könnt ihr immer folgendermaßen vorgehen. Und zwar müssen wir diese
0:40 beiden Ebenen gleichsetzen Koordinatenweise. Wir starten mit der ersten Koordinate. Also hier die erste Koordinate, hier die erste Koordinate,
0:50 hier die erste Koordinate und hier genau dasselbe, wenn ich das mal markiere, überall die erste Koordinate nehmen, dann haben wir hier 1
0:58 + s* 1, also + s + t* 0 wird dann zu 0, müssen wir gar nicht hinschreiben. Ist gleich gleichsetzen hier genauso 0 plus müssen die 0 nicht hinschreiben. U mal
1:13 -1 -u + V* -1 - V. Erste Koordinate erledigt. Ihr ahntes schon dasselbe jetzt mit der zweiten Koordinate hier. Und auch hier bekommen wir eine neue
1:29 Gleichung. -1 + s* 2 sind + 2s + t* 0 fliegt wieder weg. 1
1:42 + u mal -1 -u + v* 2 sind + 2v und wir brauchen noch eine dritte Gleichung. Deswegen all das jetzt noch mit der dritten Koordinate hier so dass
1:58 unsere Gleichung mit 1 hier startet. + s* 0 fliegt raus. + t* 2 sind also + 2t = -1 + u* 2 sind + 2u + v* 4 sind + 4v
2:19 und damit haben wir hier ein großes Gleichungssystem. Wir haben drei Gleichungen, aber vier unbekannte. Wir hatten ja S, T, U, also wir haben eine
2:32 unbekannte mehr als Gleichung und das ist auch okay so. Das muss so sein und das sehen wir dann auch im Laufe der Umformung. Aber grundsätzlich muss man
2:42 dieses Gleichungssystem jetzt lösen. Und dadurch, dass hier so viel abgeht, würde ich euch wirklich ans Herz legen, hier sauber und strukturiert zu arbeiten,
2:52 dass es nicht im absoluten Chaos endet. Ähm, ich würde mal alle Unbekannten nach links bringen und alle Zahlen nach rechts. Also in der ersten Gleichung
3:03 will ich die Zahl nach rechts bringen, indem ich -1 rechne. Aber diese Unbekannten von der rechten Seite will ich auch nach links bringen. Also links
3:13 habe ich dann mein S schon mal stehen. Hinzu kommt das U mit + U und das V auch mit + V. Und rechts bringe ich die Zahl dahin mit -1. Dann zweite Gleichung
3:27 genau dasselbe. Ich will die Zahlen rechts haben. Also mache ich + 1, damit ich das gleich mit der Zahl verrechnen kann. Ansonsten will ich alle
3:37 Unbekannten nach links bringen. Da stand schon meine 2s hinzukommt + U und - 2V, dann sind alle unbekannten drüben und rechts hatten wir die 1 + 1 noch dazu,
3:52 sind dann 2. Und die letzte Gleichung, auch da will ich alle Zahlen rechts haben, also mache ich -1, aber auch alle unbekannten von hier
4:02 rüber. Dann hatten wir dieses Mal also 2t hier, dann kommen -2u dazu, -4 V und rechts haben wir jetzt -1, -1 sind
4:17 dann -2. So sieht also unser Gleichungssystem jetzt aus. Und ich würde euch empfehlen, das Ganze spaltenweise schön sauber
4:27 aufzuschreiben, dass ihr hier vorne mit eurer Spalte unterwegs seid, dann mit eurer T Spalte, die wir sehen, dass T nur hier unten vorkommt, dann die
4:38 U-Spalte, dann die V-Spalte und rechts nur noch eure Zahlen. Denn wir würden dieses Gleichungssystem jetzt gerne in die Dreiecksform bringen, dass wir hier
4:49 vorne nichts mehr stehen haben, hier nichts mehr stehen haben und auch hier nichts mehr stehen haben. Wir könnten erstmal das 2s hier loswerden, indem wir
4:59 die ersten beiden Gleichungen miteinander verrechnen. Wie werden wir 2s los? Na ja, wir müssten auch hier 2s hinbekommen. Also,
5:08 wir müssten die komplette Gleichung einmal mit 2 multiplizieren und dann müssen wir 2s - 2s rechnen, damit es hier wegfliegt.
5:21 Das ist der Plan. An der ersten Gleichung ändern wir gar nichts. Das schreiben wir einfach genauso schön ab. Aber die zweite wird jetzt vererechnet.
5:32 2* S sind 2s - 2s fliegt raus, wie gewünscht. 2* U sind 2U - 1U ist nur noch 1U. 2* V sind 2V -2V,
5:51 also wir hatten 2V + 2V sind 4 V. Und auf der rechten Seite mit den Zahlen 2 x -1 sind -2, -2 sind insgesamt -4.
6:07 Okay, was mache ich mit der letzten Gleichung? Na ja, wenn ich mir die mal anschaue, da ist ja gar kein S drin. Also, die ist eigentlich schon ganz gut
6:16 vorbereitet. Die würde ich erstmal genauso abschreiben, weil im ersten Schritt wollte ich ja erstmal die ganzen S-inträge hier loswerden. Das
6:30 habe ich hier mit der zweiten Gleichung geschafft und bei der dritten Gleichung war es ja schon geschenkt, weil da gar kein S drin vorkam.
6:38 Dann haben wir gesagt, wir wollen diese Dreiecksform hinbekommen, also dass wir hier keinen S-rag, hier keinen S-rag und hier keinen T- Eintrag haben.
6:48 Aber seht ihr das, dass wir das eigentlich auch schon abgehakt haben, wenn wir diese beiden Zeilen vertauschen, weil hier ist ja gar kein
6:58 Tintrag drin. Also nutzen wir das doch, dass hier nur U und V drin ist. packen diese Zeilen nach unten, ziehen das nach oben, also einfach die beiden
7:09 vertauschen und schwup die wup haben wir hier unsere Dreiecksform, wo die S-inträge nicht drin sind und hier der T-Etrag nicht drin ist. Und damit können
7:19 wir nämlich jetzt schön weiterrechnen. Und zwar ist jetzt alles gut vorbereitet. Wir werden jetzt die letzte Zeile nehmen, also die dritte und die
7:34 nach Ustellen. Ihr könnt ja auch nach V umstellen, wenn ihr wollt, aber normalerweise stellt man sie nach der vorletzten unbekannten um.
7:44 Also rechnen wir -4 V, damit das U alleine steht und dann haben wir -4 - 4 V. Wir haben jetzt also unser U
7:57 gefunden in Abhängigkeit von V. Wir haben ja am Anfang gesehen, dass wir drei Gleichungen nur hatten für vier Unbekannte. Von daher ist es ganz normal
8:08 und auch gut, dass es passiert, dass hier am Schluss alles jetzt in Abhängigkeit von einer Unbekannten vorkommen wird. Das ist kein Fehler, das
8:18 ist gut so. Okay, das ist also unser U. Dann nutzen wir diese Information von unserem U und setzen das in die nächste Gleichung für U.
8:32 Also in der zweiten Gleichung haben wir dann 2t - 2 und an Stelle von U kommt jetzt alles
8:44 rein schön in der Klammer, was wir da rausgefunden haben, was U sein soll, nämlich dieser ganze Teil und alles andere -4V wird einfach so abgeschrieben
8:55 und die Gleichung so wie sie ist. Und diese Gleichung stellen wir jetzt nach der nächsten Unbekannten um, nämlich nach t, indem wir erstmal hier
9:06 die Klammer auflösen. Also, die 2t bleiben, dann haben wir -2* -4 sind +8. -2* -4v sind +8v.
9:21 Das -4V noch hinten dran und rechts haben wir -2. Wir können ein bisschen vereinfachen. 8V - 4V sind insgesamt 4 V. Dann wollen wir nach t umstellen.
9:36 Also müssen die beiden Sachen rüber, indem wir -8 und -4v rechnen. Dann stehen die 2t nämlich alleine da. Rechts haben wir -2, -8 sind -10,
9:49 -4 noch dazu. Um nach t umzustellen, müssen wir dann noch ein letztes Mal durch 2 teilen. Dann haben wir auch unser t und zwar -10 dur 2 sind -5 und
10:02 -4v 2 sind -2v. Das ist unser t auch in Abhängigkeit von v, aber das ist kein Problem. Wir werden
10:13 alles in Abhängigkeit von V bekommen. U haben wir, T haben wir, die habe ich jetzt noch mal hier hingeschrieben. Was fehlt noch? Unser S. Also alles in die
10:26 erste Gleichung rein, um unser Sinden. Plus U ist das da, also plus das da. Das heißt, das Plus brauchen wir da nicht.
10:36 Dann können wir direkt mit -4 -4vitermachen. + V = -1. Also in der ersten Gleichung kommt gar
10:47 kein t vor, also müssen wir da auch gar kein t einsetzen. Wir stellen nach S um. Erstmal die Vs hier zusammenrechnen. -4V + 1v sind -3
11:01 V. Dann bringen wir alles rüber, indem wir + 4 rechnen und + 3 v, damit es s alleine steht. Und rechts haben wir -1 +
11:13 4 sind 3 + 3 v. Das ist also unser S. Wir haben s, T und U. Und mit denen gehen wir jetzt zurück an den Anfang, wo wir unsere Ebenengleichungen hatten, wo
11:27 wir S, Tin haben und hier U und V. Und jetzt könnt ihr euch entscheiden, was euch besser gefällt. Entweder ihr nimmt S und T und setzt die hier ein.
11:41 Also S da rein, T da rein, wo es hingehört. Oder falls euch diese Gleichung besser gefällt, könnt ihr auch das U nehmen und hier einsetzen. Für das
11:53 V wird nix eingesetzt. Deswegen ist es eigentlich ganz praktisch, wenn man das hier nimmt. Ich meine, hier sind schon ziemlich viele Nullen hier vorne auch,
12:00 aber wir setzen es einfach mal hier hinten ein. Es kommt dasselbe Ergebnis raus. Könnt ihr ja gerne testen. S und T vielleicht hier einsetzen, während ich U
12:08 hier einsetz. Okay, das heißt für unsere Schnittgerade, die wir suchen, nennen wir die gerade Magie,
12:17 werden wir die Gleichung erhalten X = und das Ding schreiben wir so ab, nur für u wird natürlich eingesetzt, also 0 1 - 1 +
12:30 U mal diesen Vektor, also für u jetzt das ganze Ding da rein, auch wenn es nicht so sonderlich schön aussieht, aber schön in Klammern erstmal packen. Müssen
12:38 wir gleich alles schön verrechnen. Das ist unser U mal diesen Vektor alles schön reinpacken. Plus für V wird nichts eingesetzt, weil
12:52 wir ja überall in Abhängigkeit von V hatten. Also für V haben wir kein andere Darstellung. Unser V ist eben V. Von daher wird da nichts anderes eingesetzt.
13:02 und diesen Vektor hier. Und das V bleibt auch bis zum Schluss hier drin, weil das soll ja eine Geradengleichung werden. Und die müssen wir jetzt aber noch ein
13:13 bisschen schöner machen. Also schnappen wir uns diese Geradengleichung und schauen mal, wie wir die auf den auf diese normale Form bringen können von
13:20 einem Punkt und einem Richtungsvektor. Äh ja, wir müssen erstmal ein bisschen hier multiplizieren. Also vorne den Vektor können wir mal stehen lassen.
13:31 Müssen mal gucken, was mit dem passiert. Aber der ist erstmal okay. Hier muss jetzt multipliziert werden und zwar hier vorne der Teil mit diesem Vektor. Das
13:42 heißt, das Plus übernehme ich hier mal. Da kommt jetzt ein großer Vektor hin, denn ich multipliziere den Teil erstmal mit der ersten Koordinate, um meine
13:53 erste Koordinate hier im Ergebnis zu bekommen. Das heißt, ich habe -4* -1, was +4 sind und -4V* -1 sind +4v.
14:08 Dann dasselbe mit der zweiten Koordinate. Wir multiplizieren -4* -1. Okay, kommt jetzt das selber Ergebnis wieder oben. Das heißt, wir haben 4 + 4
14:20 V genauso. Und dann dasselbe noch mit der dritten Koordinate. -4* 2 sind -8 und -4V* 2 sind -8V. Hinten dran kommt noch der Teil mit V
14:36 mal diesen Vektor. Das schreiben wir erstmal so ab. Okay, jetzt haben wir hier also verschiedene Vektoren. In manchen haben
14:45 wir nur Zahlen, in anderen kommt es V. Ich würde mal vorschlagen, dass wir hier einen großen Vektor draus machen und mal alles koordinatenweise zusammenfassen.
14:58 Das heißt, wir starten mit der ersten Koordinate und haben 0+, okay, das können wir auch weglassen, 4
15:07 + 4v + v -1 sind - dann alles mit der zweiten Koordinate. 1 +
15:22 4 + 4 V + V* 2 sind + 2V und dann noch alles mit der dritten Koordinate. -1 + -8 sind -8 + -8V sind -8V
15:42 und + 4 sind + 4v. Und jetzt vereinfachen wir mal jede Koordinate für sich. Also, wir haben ja hier was mit V, hier was mit V. Wir
15:54 haben 4v - 1 V sind 3 V, wenn wir das mal zusammenfassen. Dann 1 + 4 sind schon mal 5. Und hier haben wir 4V + 2V sind 6 V
16:10 zusammengefasst. -1 -8 sind -9. Und -8V + 4V sind -4 V. Das heißt, so sieht jetzt unser
16:28 Vektor aus. Wollten wir ein Vektor haben? Nee, wir wollten eine Geradengleichung haben, wo wir gesagt haben, wir brauchen ja etwas mit einem
16:38 Punkt, wo nur Zahlen drin stehen plus. Und dann kommt ja der Richtungsvektor, der dann mit einem Buchstaben noch multipliziert wird. Und dieser Buchstabe
16:49 sieht so aus, als würde der hier V lauten. Das heißt, diesen Vektor teilen wir jetzt einfach auf in den Teil mit den Zahlen und in den Teil mit den VS.
17:01 Die 4 landet hier, also die 5 kommt hier als zweite Koordinate hin, die -9 hierhin und dann haben wir + 3V, also + 3 + 6V, also + 6 und -4v, das heißt +
17:22 -4, damit es hier schön aufgeht. Das ist eine Geradengleichung. Jetzt würde ich dieses V noch ersetzen, weil das V hat ja zur Ebene gehört. Also
17:37 ganz am Schluss, wenn ich die gerade G dann aufschreib, würde ich hier vielleicht noch ein Lambda eintragen, also irgendein Buchstaben, den wir noch
17:44 nicht benutzt haben. Aber das hier ist unsere Gleichung von unserer Schnittgeraden von unseren beiden Ebenen. Falls ihr Fragen habt, schreibt
17:54 sie gerne in die Kommentare. Ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video. Macht's gut.