Volumen von Rotationskörpern - Integral Advanced 3 Remake
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=7VPh_jkfv10

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 so Mo zusammen Jan hockt in der Kneipe und gönnt sich sein wohlverdientes Feierabendbier ah so ein kühles hefeewizen Gibt's was besseres nach dem
0:09 dritten oder so kommt man dann durchaus auf die komischen Ideen z.B mal auszurechnen wie vielen so ein Weizenglas überhaupt reingeht wirklich
0:17 ein halber Liter oder wird J verarscht und es ist weniger drin wie man das mit Hilfe der Integralrechnung ausrechnet erfahrt ihr in diesem
0:28 Video so wie viel Bier passt in mein Glas eigentlich eine ganz banale Frage wie
0:36 immer in Mathe gibt's jed auch keine einfache banale Antwort drauf sondern ihr müsst erstmal rechnen wie macht ihr das jetzt aber in den vorherigen Videos
0:44 habt ihr dazu das Integral näher kennengelernt ganz wichtig wenn ihr nicht wisst was das ist unbedingt die früheren Videos in der Playlist
0:52 abchecken in denen habt ihr dann z.bpiel gelernt dass man mit dem Integral Flächen berechnen kann warum also nicht auch das Volumen von dem Körper und zwar
1:00 von ein besonderen Körper einem sogenannten Rotationskörper what was ist den das jetzt schon wieder dazu mal ein einfaches Beispiel ihr habt die Funktion
1:09 f vonx = 1 also einfach eine konstante bei 1 man könnte auch sagen ein gerader Strich klar die Funktion ist einfach überall gleich 1 stellt euch jetzt mal
1:20 vor die würde sich um die x-Achse drehen natürlich nur gedanklich würde da dann ein Zylinder entstehen mit einem Radius von ein klar die gerade ist ja genau ein
1:29 eine Längeneinheit von der x-Achse Weg ihr habt also ein Körper in diesem Fall den Zylinder mit einer Funktion hier F vonx = 1 beschrieben und weil die
1:38 Funktion sich dabei gedanklich um die x-Achse dreht man kann auch sagen rotiert nennt man den Körper dann Rotationskörper soweit so gut wie
1:47 berechnet ihr jetzt aber das Volumen von so einem Rotationskörper dazu zersägt ihr den Rotationskörper what was zersägen hä wie genau ihr zersägt ihn in
1:58 ganz viele Scheiben Scheibe für Scheibe sägt ihr von dem Rotationskörper runter in unserem Beispiel Scheibe für Scheibe von dem Zylinder moment mal zersägen
2:07 zerteilen irgendwie müsst euch das doch bekannt vorkommen wenn ihr die Videos zum integral angeschaut habt habt ihr gelernt dass man sich das Integral als
2:15 Summe ganz ganz ganz vieleer kleiner Rechtecke vorstellen kann da habt ihr also die Fläche unter der Kurve in ganz viele Rechtecke zerteilt hier unterteilt
2:24 ihr ein Volumen in ganz viele Scheibchen und wie beim normalen integral berechnet ihr dann die einzelnen Scheibchen einzeln und adert dann alle zusammen für
2:32 das Gesamtvolumen die große Frage ist jetzt wie groß ist denn das Volumen von so einer Scheibe das ist ja eigentlich nichts weiter als ein ganz schmaler
2:41 Zylinder und das Volumen von dem berechnet ihr mit dieser Formel V = pi mal R hoch 2 x H also pi mal den Radius hoch 2 mal die Höhe die wie gesagt
2:51 wenzig schmal ist R also der Radius ist dabei nichts anderes als der Funktionswert F von X haben wir ja bei unserem Beispiel Zylinder F vonx = 1 am
3:02 Anfang gezeigt und H die Höhe ist ein ganz kurzes Stück auf der x-Achse also können wir das mal Delta x nennen geil damit haben wir das Volumen einer
3:10 Scheibe nämlich V = pi mal F von x hoch 2 mal Delta x wie schon besprochen ist das gesamte Volumen dann die Summe aller Scheibchen und hier kommt wieder das
3:21 Integral zum Einsatz wenn eure Scheiben ganz ganz ganz dünn werden kriegt man es einfach nicht mehr hin den Spaß auszurechnen ihr könnt aber einfach
3:29 wieder die integralschreibweise benutzen wir erinnern uns das Volumen einer Scheibe sieht so aus anstelle von Delta x schreibt ihr dann DX und macht vorne
3:38 noch das geschwungene Essen das steht wie ihr wisst für Summe wir wollen ja alle scheibenvolumina zusammenzählen also das Gesamtvolumen außerdem habt ihr
3:47 noch eure Grenzen A und B sprich da wo euer Rotationskörper anfängt und da wo er aufhört wenn ihr die Herleitung nicht ganz verstanden habt ist das nur halb so
3:57 wild war auch nur die nicht ganz mathematisch korrekte Kurzfassung für die Aufgaben braucht ihr die Ini wichtig ist dass was rauskommt und das ist diese
4:05 Formel hier das PI könnt ihr noch vors integral ziehen und da steht sie die legendäre sagenumwobene na ja doch eher einfach nur mathematische Formel zum
4:14 rotationsvolumen V gesamt g=ich pi mal das Integral von A bis B von F von X ins Quadrat DX genug trockene Herleitung haen wir mal ein Beispiel raus bevor wir
4:25 uns an Jans Weizenglas ranwagen nehmen wir mal noch ein einfacheres Glas hat jemand gerade ein glasparat Danke Schön damit das als Rotationskörper um die
4:33 x-Achse beschrieben werden kann müssen wir es hinlegen also um 90 gr drehen jetzt brauchen wir irgendeine Funktion die das Glas oder besser den Ranz des
4:42 Glases beschreibt das hier sieht doch schon mal ganz gut aus in der Regel bekommt ihr die Funktion vorgegeben müss also nicht selber drauf kommen in
4:50 unserem Fall lautet die Funktion f vonx = w√ von X ist natürlich nur eine Näherung das Glas geht von 0 bis 8 auf der x-Achse das bedeutet Grenzen sind 0
5:00 und 8 den ganzen Spaß dreht er jetzt um die x-Achse der Rotationskörper sieht dann so aus jetzt müsst ihr einfach alles in die Formel für das
5:09 rotationsvolumen Einsetzen für F vonx setzt ihr Wurzel x ein und für die Grenzen die 0 unten und die 8 oben Wurzel x hoch 2 ist einfach x ihr habt
5:19 also für das Volumen V = pi mal das Integral von 0 bis 8 von X DX das müsst ihr jetzt nur noch ausrechnen die Stammfunktion von X ist ein/b x hoch 2
5:29 und wenn ihr da dann eure Grenzen einsetzt bekommt ihr pi mal 1/ x 8 hoch 2- 1/ x 0 für euer Volumen raus das ergibt dann einfach pi mal 32 oder 32 PI
5:40 was ungefähr 100,5 Volumeneinheiten sind so genug Set kümmern wir uns mal ob Jans Weizenglas weil wir nichts anderes zu tun hatten haben wir sogar ein
5:50 originales Weizenglas extra für diese Aufgabe ausgemessen na ja zumindest versucht so gut wie das eben mit dem Goo dre geht na ja egal wir sind S auf jeden
6:00 Fall auf diese Funktion hier gekommen die den Rand des weizenglases beschreibt fonx = -0,001 x hoch 3 + 0,034x hoch 2 -
6:11 0,249x + 3,4 ihr denkt euch jetzt bestimmt wat solche kackwerte hat ein Weizenglas ja wie so ziemlich alles Natürliche hat auch ein Weizenglas
6:21 irgendwelche krummen Werte klar dass da nichts Schönes gerades rauskommt die Natur ist halt eben krumm aber deshalb gibt's ja sowas wie taschenrech und
6:29 Computer mit denen man das alles dann ganz locker berechnen kann aber die Formel dazu aufstellen könnt ihr auf jeden Fall drückt Pause und versucht
6:37 selbst die Formel für das Volumen für Jans Weizenglas aufzustellen kleiner Tipp wir haben das Glas schon so ins Koordinatensystem gelegt dass die
6:44 Grenzen 0 und 18 sind der Spaß hier soll wieder um die x-Achse rotieren wie sieht also eure Formel fürs Volumen aus richtig ihr habt V = pi mal das Integral
6:56 von 0 bis 18 von F von x hoch 2 DX und das ist PI mal das Integral von 0 bis 18 von Klammer auf - 0,001x hoch 3 + 0,034x H 2 -
7:10 0,249x + 3,4 K zu ins Quadrat DX die Klammer ist wichtig da ihr die gesamte Funktion ins Quadrat nehmt das hat ihr jetzt wenn ihr nicht ganz lebensmüde
7:20 oder recheng geil seid in den Taschenrechner rauskommen dann ca 653,448 Volumeneinheiten was ca 650 ml entspricht falls ihr mit Zentimeter
7:31 gerechnet habt Jans Glas fastst also mehr als einen halben Liter macht ja auch Sinn die eichmarkierung liegt ja etwas unterhalb vom Glasrand damit die
7:40 Schaumkrone noch Platz hat so was müsst ihr euch zu Rotationskörpern merken erstmal alle denen wir mit der Bierglas Aufgabe Angst
7:48 gemacht haben wenn ihr abisona Aufgabe bekommt bekommt ihr meistens gescheite Werte also irgendwas mit dem sich halbwegs rechnen lässt also keine Panik
7:56 das läuft dann solltet ihr im Hinterkopf haben dass so ein Rotationskörper nichts anderes ist als eine Funktion die gedanklich um die x-Achse rotiert das
8:05 Volumen von so einem Ding rechnet ihr dann mit dieser Formel hier aus V = pi mal das Integral von der unteren Grenze bis zur oberen Grenze von F von X ins²r
8:14 DX denkt dran wenn ihr die Funktion einsetzt eine Klammer drum zu machen damit ihr auch wirklich die ganze Funktion quadriert schaut unbedingt mal
8:22 auf unserer App vorbei dort gibt's noch mehr Videos zum Thema integral und Stammfunktion ansonsten macht's gut Leute bis gleich im nächsten Video