Wurfbewegung: Formeln, Beispiele und Übungen

Beim Auftreffen ist die Höhe y=0. Setze diese Bodenbedingung in das vertikale Bewegungsgesetz ein:

0=h-\frac12gt_\mathrm{F}^2

Umstellen liefert die Flugzeit:

t_\mathrm{F}=\sqrt{\frac{2h}{g}}

Während dieser Zeit bewegt sich der Körper horizontal mit der konstanten Geschwindigkeit v_0. Seine Reichweite w ist deshalb:

w=v_0t_\mathrm{F}

w=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}

Für Bahnkoordinaten betrachten wir einen Ball mit h=18\,\mathrm m und v_0=7\,\mathrm{m/s}. Nahe der Erdoberfläche verwenden wir näherungsweise g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}. Bei t=1\,\mathrm s gilt:

x=7\,\mathrm{m/s}\cdot1\,\mathrm s=7\,\mathrm m

y=18\,\mathrm m-\frac12\cdot9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\cdot(1\,\mathrm s)^2

y\approx13{,}1\,\mathrm m

Nach einer Sekunde befindet sich der Ball näherungsweise am Punkt (7\,\mathrm m\mid13{,}1\,\mathrm m).

Die Zeit kannst du aus x=v_0t als t=x/v_0 ausdrücken. Setzt du dies in die Höhengleichung ein, erhältst du die Bahnkurve:

y(x)=h-\frac{g}{2v_0^2}x^2

Der Term mit x^2 zeigt: Die Flugbahn ist eine Parabel, die sogenannte Wurfparabel. Die Bahnkurve beschreibt die räumliche Spur des Körpers. Sie ist nicht dasselbe wie ein Ort-Zeit-Diagramm: In der Bahnkurve wird y gegen x aufgetragen, nicht gegen die Zeit.

Die Geschwindigkeit besitzt ebenfalls zwei Komponenten:

v_x=v_0,\qquad v_y=-gt

Da beide Komponenten senkrecht aufeinander stehen, folgt der Betrag der momentanen Geschwindigkeit aus dem Satz des Pythagoras:

v(t)=\sqrt{v_0^2+g^2t^2}

Beim Auftreffen kann t_\mathrm F^2=2h/g eingesetzt werden:

v_\mathrm W=\sqrt{v_0^2+2gh}

Für den Ball mit h=18\,\mathrm m, v_0=7\,\mathrm{m/s} und näherungsweise g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2} gilt:

v_\mathrm W=\sqrt{(7\,\mathrm{m/s})^2+2\cdot9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\cdot18\,\mathrm m}

v_\mathrm W\approx20{,}1\,\mathrm{m/s}

Die Flugrichtung folgt aus dem Geschwindigkeitsdreieck:

\tan\alpha=\frac{v_y}{v_x}

Beim Fallen ist v_y<0 und damit auch der Winkel zur positiven Horizontalen negativ.

Beim schiefen Wurf zeigt die Anfangsgeschwindigkeit schräg nach oben. Du zerlegst sie mit dem Abwurfwinkel \alpha in zwei Komponenten:

v_{0x}=v_0\cos\alpha

v_{0y}=v_0\sin\alpha

Dann gelten die Bewegungsgesetze:

x(t)=v_{0x}t

y(t)=y_0+v_{0y}t-\frac12gt^2

v_x=v_{0x},\qquad v_y(t)=v_{0y}-gt

Am höchsten Punkt ist nur die vertikale Geschwindigkeitskomponente null:

t_\mathrm{max}=\frac{v_{0y}}{g}

Kehrt der Körper zur Abwurfhöhe zurück, sind Aufstiegs- und Abstiegszeit gleich lang:

t_\mathrm{ges}=2t_\mathrm{max}=\frac{2v_{0y}}{g}

Bei gleicher Abwurf- und Landehöhe, fester Anfangsgeschwindigkeit und ohne Luftwiderstand ist die Reichweite bei 45^\circ am größten. Bei unterschiedlichen Höhen oder mit Luftwiderstand gilt diese Aussage nicht ohne Weiteres.

Die Formeln dieser Seite beschreiben ein ideales Modell. Es setzt voraus: Der Luftwiderstand und Wind werden vernachlässigt. Die Fallbeschleunigung g wird als konstant angenommen. Nach dem Abwurf wirkt außer der Gewichtskraft keine weitere Kraft. Der Boden wird durch eine festgelegte Höhe beschrieben.

Reale Bälle, Wasserstrahlen oder Fahrzeuge können deutlich vom Modell abweichen. Form, Drehung, Luftwiderstand und Wind verändern ihre Bewegung.