Schräger Wurf: Formeln, Bahnkurve und Aufgaben

Wir betrachten einen Körper, der aus der Höhe h mit der Anfangsgeschwindigkeit v_0 unter dem Winkel \alpha_0 nach rechts oben geworfen wird. Der Koordinatenursprung liegt am Boden unter der Abwurfstelle. Die positive x-Richtung zeigt nach rechts, die positive y-Richtung nach oben. Die Anfangsgeschwindigkeit wird in zwei Komponenten zerlegt:

v_{x,0}=v_0\cos\alpha_0

v_{y,0}=v_0\sin\alpha_0

Horizontal wirkt keine Beschleunigung. Deshalb bleibt v_x=v_{x,0} konstant. Vertikal wirkt die Erdbeschleunigung nach unten. Bei einer nach oben gerichteten y-Achse gilt a_y=-g. Die Beschleunigung zeigt also während des gesamten Flugs nach unten. Das gilt auch am höchsten Punkt.

Für den Start bei x(0)=0 und y(0)=h gelten die Ortsgesetze:

x(t)=v_{x,0}t

y(t)=-\frac12gt^2+v_{y,0}t+h

Die zugehörigen Geschwindigkeitsgesetze lauten:

v_x(t)=v_{x,0}

v_y(t)=-gt+v_{y,0}

Damit kannst du für jeden Zeitpunkt die Bahnkoordinaten und beide Geschwindigkeitskomponenten bestimmen.

Von den Ortsgesetzen zur Bahnkurve: Eine Bahnkurve beschreibt y direkt als Funktion von x. Löse dazu das horizontale Ortsgesetz nach der Zeit auf:

t=\frac{x}{v_{x,0}}

Setze diesen Ausdruck in y(t) ein:

y(x)=-\frac{g}{2v_{x,0}^2}x^2+\frac{v_{y,0}}{v_{x,0}}x+h

Mit v_{x,0}=v_0\cos\alpha_0 und v_{y,0}/v_{x,0}=\tan\alpha_0 folgt:

y(x)=-\frac{g}{2(v_0\cos\alpha_0)^2}x^2+\tan\alpha_0\,x+h

Der Koeffizient vor x^2 ist negativ. Deshalb ist die ideale Flugbahn eine nach unten geöffnete Parabel.

Die Zeit kann nur dann über t=x/v_{x,0} entfernt werden, wenn v_{x,0}\ne0 ist. Beim exakt senkrechten Wurf mit \alpha_0=90^\circ gibt es keine horizontale Flugweite und keine Bahnkurve der Form y(x).

Am Scheitelpunkt S wechselt die vertikale Bewegung vom Steigen zum Fallen. Dort gilt:

v_y(t_S)=0

Mit v_y(t)=-gt+v_{y,0} erhältst du die Steigzeit:

t_S=\frac{v_{y,0}}g

Setze diese Zeit in beide Ortsgesetze ein:

x_S=\frac{v_{x,0}v_{y,0}}g

y_S=h+\frac{v_{y,0}^2}{2g}

Der Scheitelpunkt lautet damit:

S\left(\frac{v_{x,0}v_{y,0}}g\;\middle|\;h+\frac{v_{y,0}^2}{2g}\right)

Der Körper trifft den Boden, wenn seine Höhe y=0 ist. Setze deshalb in das vertikale Ortsgesetz ein:

-\frac12gt_W^2+v_{y,0}t_W+h=0

Die physikalisch relevante positive Lösung ist:

t_W=\frac{v_{y,0}+\sqrt{v_{y,0}^2+2gh}}g

Die negative Lösung beschreibt bei h>0 einen rechnerischen Zeitpunkt vor dem Abwurf und gehört nicht zum beobachteten Flug. Mit der Flugzeit folgt die Reichweite:

w=v_{x,0}t_W

Kehren Start und Landung auf dieselbe Höhe zurück, gilt außerdem t_W=2v_{y,0}/g. Mit v_{x,0}=v_0\cos\alpha_0 und v_{y,0}=v_0\sin\alpha_0 ergibt sich dann:

w=\frac{v_0^2\sin(2\alpha_0)}g

Zu jedem Zeitpunkt setzt sich die Geschwindigkeit aus ihren Komponenten zusammen. Ihr Betrag ist:

v(t)=\sqrt{v_{x,0}^2+(-gt+v_{y,0})^2}

Beim Auftreffen setzt du t=t_W ein:

v_W=\sqrt{v_{x,0}^2+(-gt_W+v_{y,0})^2}

Die Neigung der momentanen Bewegungsrichtung erfüllt:

\tan\alpha=\frac{v_y}{v_x}

Beim Steigen ist v_y>0 und der Winkel positiv. Beim Fallen ist v_y<0 und der Winkel negativ.

Alle Rechnungen setzen eine konstante Erdbeschleunigung und vernachlässigbaren Luftwiderstand voraus. Mit Luftwiderstand bleibt v_x nicht konstant und die reale Bahn ist keine ideale Parabel.