Physik · Klasse 10–11 · aktualisiert
Senkrechter Wurf: Formeln, Beispiele und Aufgaben
Berechne beim senkrechten Wurf Höhe, Geschwindigkeit und Steigzeit mit einer klaren Vorzeichenregel.
0 von 9 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Beim senkrechten Wurf nach oben bremst die nach unten gerichtete Erdbeschleunigung den Körper bis zum höchsten Punkt. Dort ist die Geschwindigkeit kurz null, die Beschleunigung bleibt bestehen. Mit positiver Aufwärtsrichtung gilt v(t)=v_0-gt.
Beim senkrechten Wurf wirkt während der gesamten Bewegung die Erdbeschleunigung nach unten: Der Körper wird beim Aufstieg langsamer, hält am höchsten Punkt kurz an und fällt anschließend immer schneller. Mit einer festen Vorzeichenregel kannst du Höhe, Geschwindigkeit und Flugzeit berechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
3 Abschnitte
Wir betrachten einen Körper, der sich nur senkrecht bewegt. Dabei gelten drei Modellannahmen: Der Luftwiderstand wird vernachlässigt. Die Erdbeschleunigung ist konstant. Nahe der Erdoberfläche verwenden wir für ihren Betrag näherungsweise g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}. Wir wählen die Richtung nach oben als positiv. Dann gilt: Eine aufwärts gerichtete Anfangsgeschwindigkeit v_0 ist positiv. Eine abwärts gerichtete Anfangsgeschwindigkeit v_0 ist negativ. Die Beschleunigung lautet während der gesamten Bewegung a=-g.
Merke: Am höchsten Punkt gilt v=0, aber nicht a=0. Die Erdanziehung wirkt dort weiterhin mit a=-g nach unten.
Definition
Senkrechter Wurf
Ein Körper startet mit vertikaler Anfangsgeschwindigkeit. Nach dem Abwurf wirkt im Modell ohne Luftwiderstand nur die Gewichtskraft; die Beschleunigung zeigt nach unten.
Teste dich
Für die positive Aufwärtsrichtung lauten die Bewegungsgleichungen:
v(t)=v_0-gt
y(t)=y_0+v_0t-\frac12gt^2
Die Anfangshöhe y_0 und die aktuelle Höhe y(t) gibst du in Metern an. Die Anfangsgeschwindigkeit v_0 und die aktuelle Geschwindigkeit v(t) haben die Einheit Meter pro Sekunde. Die Zeit t seit dem Abwurf wird in Sekunden gemessen. Das Vorzeichen von v(t) zeigt die Bewegungsrichtung: v>0 bedeutet aufwärts, v=0 den Umkehrpunkt und v<0 abwärts.
Beispiel
- 1Ein Ball startet bei y_0=0\,\mathrm m mit v_0=20\,\mathrm{m/s}. Gesucht sind Höhe und Geschwindigkeit nach t=1{,}5\,\mathrm s. Nahe der Erdoberfläche verwenden wir näherungsweise g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2} und vernachlässigen den Luftwiderstand.
- 2Zuerst die Geschwindigkeit:
- 3v=20\,\mathrm{m/s}-9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\cdot1{,}5\,\mathrm s v\approx5{,}29\,\mathrm{m/s}
- 4Der positive Wert zeigt: Der Ball bewegt sich noch aufwärts.
- 5Nun die Höhe:
- 6Die Anfangsgeschwindigkeit trägt 20\,\mathrm{m/s}\cdot1{,}5\,\mathrm s=30\,\mathrm m zum Höhenwert bei. Der Fallterm s_\mathrm{Fall} beträgt s_\mathrm{Fall}=\frac12\cdot9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\cdot(1{,}5\,\mathrm s)^2 s_\mathrm{Fall}\approx11{,}04\,\mathrm m Damit gilt y\approx30\,\mathrm m-11{,}04\,\mathrm m=18{,}96\,\mathrm m.
- 7Nach 1{,}5\,\mathrm s ist der Ball etwa 18{,}96\,\mathrm m hoch und steigt noch mit rund 5{,}29\,\mathrm{m/s}.
Teste dich
Am höchsten Punkt gilt v=0. Setze dies in die Geschwindigkeitsgleichung ein:
0=v_0-gt_\mathrm S
Daraus folgt die Steigzeit:
t_\mathrm S=\frac{v_0}{g}
Die Steighöhe über dem Abwurfpunkt erhältst du durch Einsetzen der Steigzeit in die Höhenfunktion:
\Delta y_\mathrm{max}=\frac{v_0^2}{2g}
Bei einer Anfangshöhe y_0 ist die größte Höhe über dem gewählten Nullniveau:
y_\mathrm{max}=y_0+\frac{v_0^2}{2g}
Kehrt ein Körper genau zur Abwurfhöhe zurück, sind Aufstieg und Abstieg im Modell zeitlich symmetrisch. Dann gilt:
t_\mathrm{ges}=2t_\mathrm S=\frac{2v_0}{g}
Für den Ball mit v_0=20\,\mathrm{m/s} ergibt sich:
t_\mathrm{ges}=\frac{2\cdot20\,\mathrm{m/s}}{9{,}81\,\mathrm{m/s^2}}\approx4{,}08\,\mathrm s
Diese Verdopplung gilt nicht, wenn der Körper auf einer anderen Höhe landet. Startet er beispielsweise über dem Boden, dauert der Weg vom höchsten Punkt bis zum Boden länger als der Aufstieg.
Dann setzt du die Höhe des Bodens in die allgemeine Höhenfunktion ein. Liegt der Boden bei y=0, löst du:
0=y_0+v_0t-\frac12gt^2
Von den mathematischen Lösungen ist für die Flugzeit nur eine nichtnegative Zeit nach dem Abwurf sinnvoll.
Auch ein Wurf nach unten lässt sich mit denselben Gleichungen beschreiben: Bei unserer Vorzeichenregel setzt du dafür v_0<0 ein.
Die Anfangshöhe verändert bei einem Wurf nach oben weder die Steigzeit noch die zusätzliche Steighöhe über dem Abwurfpunkt. Sie verändert aber die maximale Höhe über dem Boden und die gesamte Zeit bis zum Aufprall.
Beispiel: Steigzeit und maximale Höhe
- 1Für denselben Ball gelten v_0=20\,\mathrm{m/s}, y_0=0\,\mathrm m und näherungsweise g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2} nahe der Erdoberfläche.
- 2t_S=\frac{v_0}{g} t_S=\frac{20\,\mathrm{m/s}}{9{,}81\,\mathrm{m/s^2}} t_S\approx2{,}04\,\mathrm s
- 3y_\mathrm{max}=\frac{v_0^2}{2g} y_\mathrm{max}=\frac{(20\,\mathrm{m/s})^2}{2\cdot9{,}81\,\mathrm{m/s^2}} y_\mathrm{max}\approx20{,}39\,\mathrm m
- 4Der Ball erreicht nach etwa 2{,}04\,\mathrm s eine Höhe von rund 20{,}39\,\mathrm m.
Merke: Ohne Luftwiderstand bleibt die Summe aus Bewegungsenergie und Lageenergie konstant: E_\mathrm{kin}+E_\mathrm{pot}=\text{konstant} Dabei gilt: E_\mathrm{kin}=\frac12mv^2 E_\mathrm{pot}=mgy Beim Aufstieg wird Bewegungsenergie in Lageenergie umgewandelt. Am höchsten Punkt ist v=0 und damit die Bewegungsenergie null. Für die Steighöhe über dem Abwurfpunkt folgt: \frac12mv_0^2=mg\Delta y_\mathrm{max} Die Masse m kürzt sich heraus; anschließend teilst du durch g: \Delta y_\mathrm{max}=\frac{v_0^2}{2g} Damit erhältst du dasselbe Ergebnis wie mit den Bewegungsgleichungen. Auf derselben Höhe sind die Geschwindigkeitsbeträge beim Auf- und Abstieg gleich; die Richtungen sind jedoch entgegengesetzt.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Senkrechter Wurf
Modell
Luftwiderstand vernachlässigt; konstante Beschleunigung nach unten
Bewegung
Aufstieg wird langsamer; Umkehrpunkt mit v=0; Abstieg wird schneller
Gleichungen
v(t)=v_0-gt; y(t)=y_0+v_0t-\frac12gt^2
Kennwerte
Steigzeit v_0/g; Steighöhe v_0^2/(2g); Flugzeit abhängig von der Endhöhe
Energie
Bewegungsenergie; Lageenergie
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Höhe und Geschwindigkeit nach einer Sekunde
- 1Ein Ball startet vom Boden mit v_0=15{,}0\,\mathrm{m/s} senkrecht nach oben. Wir vernachlässigen Luftwiderstand und wählen aufwärts positiv.
- 2Nahe der Erdoberfläche verwenden wir näherungsweise g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2} und t=1{,}0\,\mathrm s.
- 3v=v_0-gt v=15{,}0\,\mathrm{m/s}-9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\cdot1{,}0\,\mathrm s v\approx5{,}19\,\mathrm{m/s}
- 4Der Aufstieg ohne Schwerkraft gäbe 15{,}0\,\mathrm{m/s}\cdot1{,}0\,\mathrm s=15{,}0\,\mathrm m. Der Fallterm beträgt \frac12\cdot9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\cdot(1{,}0\,\mathrm s)^2=4{,}905\,\mathrm m Somit gilt y=15{,}0\,\mathrm m-4{,}905\,\mathrm m\approx10{,}1\,\mathrm m.
- 5Das positive v zeigt: Der Ball steigt noch.
Fehler finden
Richtung nach einer Sekunde In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Subtraktion ist falsch. Aus 18\,\mathrm{m/s}-9{,}81\,\mathrm{m/s}=8{,}19\,\mathrm{m/s} folgt eine Bewegung nach oben.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Aufstieg ist die Geschwindigkeit zunächst . Am höchsten Punkt ist sie . Die Beschleunigung zeigt dort .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback