Physik · Klasse 10–11 · aktualisiert
Waagerechter Wurf: Formeln, Flugzeit und Weite
Verfolge beim waagerechten Wurf die beiden Bewegungsrichtungen und berechne Flugzeit und Wurfweite.
0 von 9 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Beim waagerechten Wurf bleibt die horizontale Geschwindigkeit im Modell ohne Luftwiderstand konstant. Zugleich fällt der Körper vertikal aus der Ruhe. Die Flugzeit hängt bei festem g von der Abwurfhöhe ab; die Wurfweite ergibt sich aus horizontaler Geschwindigkeit mal Flugzeit.
Beim waagerechten Wurf bewegt sich ein Körper gleichzeitig gleichförmig nach vorn und im freien Fall nach unten. Aus beiden Teilbewegungen entsteht eine parabelförmige Bahn. Hier lernst du, Position, Flugzeit, Wurfweite und Geschwindigkeit im idealisierten Modell zu bestimmen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Was passiert, wenn eine Kugel waagerecht von einer Tischkante rollt? Sie fliegt nach vorn und fällt zugleich nach unten. Beide Bewegungen benötigen dieselbe Zeit. Wir verwenden ein Koordinatensystem mit der x-Achse nach rechts und der y-Achse nach oben. Der Boden liegt bei y=0. Horizontal gelten v_x=v_0 und a_x=0. Vertikal gelten v_y(0)=0 und a_y=-g. Nahe der Erdoberfläche verwenden wir näherungsweise g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}. Das Modell setzt eine konstante Erdbeschleunigung und vernachlässigbaren Luftwiderstand voraus. Bei starkem Luftwiderstand stimmen die folgenden Gleichungen nicht mehr genau.
Definition
Waagerechter Wurf
Ein Körper startet in der Höhe h_0 mit einer rein horizontalen Anfangsgeschwindigkeit v_0. Danach wirkt im Modell nur die Gewichtskraft. Die vertikale Anfangsgeschwindigkeit ist daher null.
Merke: Die Teilbewegungen beeinflussen sich im idealen Modell nicht. Eine größere horizontale Anfangsgeschwindigkeit verändert deshalb bei gleicher Höhe die Flugzeit nicht.
Teste dich
Mit den Anfangsbedingungen x(0)=0 und y(0)=h_0 lauten die Ortsgesetze:
x(t)=v_0t
y(t)=h_0-\frac12gt^2
Die Geschwindigkeits- und Beschleunigungskomponenten sind:
v_x(t)=v_0,\qquad v_y(t)=-gt
a_x=0,\qquad a_y=-g
Einheiten helfen bei der Kontrolle: Setzt du v_0 in \mathrm{\frac{m}{s}}, t in \mathrm s und g in \mathrm{\frac{m}{s^2}} ein, erhältst du Wege in Metern. Diagramme richtig lesen: Die Gleichungen verraten auch die Form der Diagramme: x(t) ist eine steigende Gerade, weil in gleichen Zeiten gleiche horizontale Wege hinzukommen. y(t) ist eine nach unten gekrümmte Parabel, weil der Fallweg mit t^2 wächst. v_x(t) ist eine waagerechte Linie, weil v_x konstant bleibt. v_y(t) ist eine fallende Gerade durch den Ursprung, weil v_y=-gt gilt.
Beispiel
- 1Eine Kugel startet in h_0=20{,}0\,\mathrm m Höhe mit v_0=8{,}0\,\mathrm{m/s}. Wo ist sie nach t=1{,}5\,\mathrm s? Nahe der Erdoberfläche verwenden wir näherungsweise g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2} und vernachlässigen Luftwiderstand.
- 2Horizontal:
- 3x=8{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot1{,}5\,\mathrm s=12{,}0\,\mathrm m
- 4Vertikal:
- 5y=20{,}0\,\mathrm m-\frac12\cdot9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\cdot(1{,}5\,\mathrm s)^2 y\approx8{,}96\,\mathrm m
- 6Die Kugel befindet sich also 12{,}0\,\mathrm m rechts vom Abwurfort und noch 8{,}96\,\mathrm m über dem Boden.
Teste dich
Die Flugzeit t_\mathrm W endet beim Bodenaufprall. Dort ist y=0:
0=h_0-\frac12gt_\mathrm W^2
Nach t_\mathrm W aufgelöst:
t_\mathrm W=\sqrt{\frac{2h_0}{g}}
Die Wurfweite w ist der horizontale Weg während dieser Zeit:
w=v_0t_\mathrm W=v_0\sqrt{\frac{2h_0}{g}}
Beispiel: Flugzeit und Wurfweite aus der Höhe
- 1Ein Körper startet aus 210\,\mathrm m Höhe mit 15\,\mathrm{m/s} waagerecht. Nahe der Erdoberfläche verwenden wir näherungsweise g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}.
- 2t_W=\sqrt{\frac{2\cdot210\,\mathrm m}{9{,}81\,\mathrm{m/s^2}}}\approx6{,}54\,\mathrm s.
- 3Dann folgt die Wurfweite:
- 4Für die Wurfweite verwenden wir die noch ungerundete Flugzeit t_W\approx6{,}54320\,\mathrm s: w=15\,\mathrm{m/s}\cdot6{,}54320\,\mathrm s w\approx98{,}1\,\mathrm m
- 5Der Körper trifft im idealisierten Modell nach etwa 6{,}54\,\mathrm s rund 98{,}1\,\mathrm m vom Punkt unterhalb des Abwurforts entfernt auf.
Teste dich
Um die Bahn unabhängig von der Zeit zu beschreiben, stellst du x=v_0t nach t um und setzt t=x/v_0 in das vertikale Ortsgesetz ein:
y(x)=h_0-\frac{g}{2v_0^2}x^2
Der Term mit x^2 zeigt: Die Bahn ist eine nach unten geöffnete Parabel. Der Geschwindigkeitsvektor liegt in jedem Bahnpunkt tangential zur Bahn. Seine horizontale Komponente bleibt gleich, seine vertikale Komponente zeigt zunehmend steiler nach unten. Der Betrag der Geschwindigkeit folgt aus dem Satz des Pythagoras:
v(t)=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{v_0^2+(gt)^2}
Beim Aufprall gilt außerdem:
v_\mathrm W=\sqrt{v_0^2+2gh_0}
Typische Fehler lassen sich so vermeiden: Koordinatenwechsel: Mische nicht eine nach oben positive Höhe mit einer nach unten positiven Fallstrecke. Fehlender Faktor \frac12: Im Weggesetz steht \frac12gt^2, im Geschwindigkeitsgesetz dagegen gt. Bahn und Richtung verwechselt: Die Bahn ist gekrümmt, die Beschleunigung bleibt dennoch senkrecht nach unten. Modellgrenze vergessen: Bei Luftwiderstand bleibt v_x nicht konstant.
Beispiel
- 1Für die Kugel mit h_0=20{,}0\,\mathrm m und v_0=8{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s}} ist t_\mathrm W\approx2{,}02\,\mathrm s. Beim Aufprall gilt näherungsweise:
- 2Horizontal bleibt v_x=8{,}0\,\mathrm{m/s}. Mit näherungsweise g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2} und t_W\approx2{,}02\,\mathrm s gilt vertikal: v_y=-9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\cdot2{,}02\,\mathrm s v_y\approx-19{,}8\,\mathrm{m/s}
- 32\cdot9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\cdot20{,}0\,\mathrm m=392{,}4\,\mathrm{m^2/s^2} v_W=\sqrt{(8{,}0\,\mathrm{m/s})^2+392{,}4\,\mathrm{m^2/s^2}} v_W\approx21{,}4\,\mathrm{m/s}
- 4Die Geschwindigkeit zeigt schräg nach rechts unten. Die Beschleunigung zeigt dagegen während des gesamten Flugs senkrecht nach unten.
Beispiel
- 1Eine Murmel verlässt eine 1{,}25\,\mathrm m hohe Tischkante mit v_0=4{,}0\,\mathrm{m/s}. Nahe der Erdoberfläche verwenden wir näherungsweise g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}; Luftwiderstand wird vernachlässigt.
- 2t_W=\sqrt{\frac{2\cdot1{,}25\,\mathrm m}{9{,}81\,\mathrm{m/s^2}}}\approx0{,}505\,\mathrm s.
- 3w=4{,}0\,\mathrm{m/s}\cdot0{,}505\,\mathrm s w\approx2{,}02\,\mathrm m
- 4Plausibilitätscheck: Eine Fallzeit von etwa einer halben Sekunde ist bei einer Tischhöhe sinnvoll. In dieser Zeit legt die Murmel bei 4\,\mathrm{\frac{m}{s}} ungefähr 2\,\mathrm m zurück.
Beispiel: Gehe bei Rechenaufgaben in dieser Reihenfolge vor
- 1Skizziere die Situation und lege die positive y-Richtung fest.
- 2Notiere h_0, v_0 und g mit Einheiten.
- 3Entscheide, ob eine Zeit, ein Ort oder eine Geschwindigkeit gesucht ist.
- 4Berechne zuerst die gemeinsame Flugzeit, wenn der Aufprall betrachtet wird.
- 5Nutze danach die passende horizontale oder vertikale Gleichung.
- 6Prüfe Vorzeichen, Einheit und Plausibilität.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Waagerechter Wurf
Voraussetzungen
Start waagerecht; nur Gewichtskraft; konstantes g
Horizontalbewegung
v_x=v_0; x=v_0t
Vertikalbewegung
a_y=-g; y=h_0-\frac12gt^2
Ergebnisse
Flugzeit aus der Höhe; Wurfweite aus Zeit und v_0; Parabel als Bahn
Vektoren
Geschwindigkeit tangential; Beschleunigung nach unten
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Flugzeit und Wurfweite einer Murmel
- 1Eine Murmel rollt waagerecht mit v_0=6{,}00\,\mathrm{m/s} von einer 12{,}0\,\mathrm m hohen Kante; Luftwiderstand wird vernachlässigt.
- 2Nahe der Erdoberfläche verwenden wir näherungsweise g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2} und wählen die positive Höhenrichtung nach oben.
- 3t_W=\sqrt{\frac{2h_0}{g}} t_W=\sqrt{\frac{2\cdot12{,}0\,\mathrm m}{9{,}81\,\mathrm{m/s^2}}} t_W\approx1{,}56\,\mathrm s
- 4Rechne für die Weite mit der ungerundeten Flugzeit t_W\approx1{,}56412\,\mathrm s: w=v_0t_W w\approx6{,}00\,\mathrm{m/s}\cdot1{,}56412\,\mathrm s w\approx9{,}38\,\mathrm m
- 5Die Zeit folgt allein aus der vertikalen Bewegung; die Wurfweite folgt aus der waagerechten Geschwindigkeit.
Fehler finden
Wurfweite von einer Kante In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Höhe ist keine horizontale Geschwindigkeit. Richtig ist w=v_0t_W. Mit v_0=5{,}0\,\mathrm{m/s} und einer hinreichend genauen Flugzeit aus h_0=8{,}0\,\mathrm m folgt: w\approx5{,}0\,\mathrm{m/s}\cdot1{,}27710\,\mathrm s w\approx6{,}39\,\mathrm m
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim idealen waagerechten Wurf bleibt die horizontale Geschwindigkeit . Die vertikale Anfangsgeschwindigkeit ist . Die Flugzeit hängt bei festem g von der ab. Die Bahn ist eine Parabel.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback