Wellenfunktion in der Quantenphysik verstehen

Das Wort Wellenfunktion wird in zwei Zusammenhängen verwendet. Eine klassische mechanische Welle kann durch eine reelle Funktion beschrieben werden:

y(x,t)=\hat y\sin\phi

\phi=2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)

Dabei ist y(x,t) die messbare Auslenkung am Ort x zur Zeit t. \hat y ist die Amplitude, T die Periodendauer, \lambda die Wellenlänge und \phi die Phase. Das Minuszeichen kennzeichnet hier die Ausbreitung in positive x-Richtung.

Bei der klassischen Seilwelle beschreibt die Funktion eine wirkliche Auslenkung. In der Quantenmechanik liefert \psi Vorhersagen über mögliche Messergebnisse. Die Bezeichnung „Welle“ bleibt sinnvoll: Wellenfunktionen besitzen Phasen, können überlagert werden und ermöglichen Interferenz.

Im Ortsraum ordnet \psi(x,t) jedem Ort und Zeitpunkt eine komplexe Amplitude zu. Eine komplexe Zahl hat Betrag und Phase. Die Phase ist für Interferenz wichtig. Als Wahrscheinlichkeitsdichte dient das Betragsquadrat:

|\psi(x,t)|^2=\psi^*(x,t)\psi(x,t)

\psi^* bezeichnet die komplex konjugierte Wellenfunktion. Das Produkt ist reell und nichtnegativ. Die Dichte an einem Punkt ist keine Wahrscheinlichkeit für ein endliches Intervall. Erst die Integration über einen Bereich ergibt diese Wahrscheinlichkeit. Viele gleich präparierte Systeme liefern eine Häufigkeitsverteilung, die sich der Vorhersage aus |\psi|^2 annähert. Ein einzelner Nachweis verrät die vorangegangene Wellenfunktion nicht eindeutig.

Bei einer vollständigen Messung muss eines der möglichen Ergebnisse eintreten. Deshalb ergeben alle Wahrscheinlichkeiten zusammen 1. Für ein Teilchen in einer Raumdimension gilt:

\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2\,dx=1

Das heißt Normierung. Für zwei einander ausschließende Ergebnisse können die Amplituden c_1=3/5 und c_2=4/5 sein. Die Wahrscheinlichkeiten sind |c_1|^2=9/25 und |c_2|^2=16/25. Es gilt 9/25+16/25=1: Das erste Ergebnis hat 36\%, das zweite 64\% Wahrscheinlichkeit.

Die Schrödinger-Gleichung ist linear. Deshalb kann eine Linearkombination zulässiger Wellenfunktionen desselben Systems wieder eine mögliche Wellenfunktion sein. Diese Überlagerung heißt Superposition.

Am Doppelspalt ohne Weginformation lässt sich der Gesamtzustand schematisch als Summe der Beiträge vom linken und rechten Spalt schreiben. Wir nennen sie \psi_L und \psi_R:

\psi_{\mathrm{ges}}=\psi_L+\psi_R

Solange die Beiträge kohärent sind, werden für die Nachweisverteilung zuerst die Amplituden addiert und danach wird das Betragsquadrat gebildet:

|\psi_{\mathrm{ges}}|^2=|\psi_L+\psi_R|^2

Im Allgemeinen unterscheidet sich dies von |\psi_L|^2+|\psi_R|^2. Interferenzterme entstehen durch die Phasenbeziehung. Die Amplituden können sich verstärken oder abschwächen.

Für ein nichtrelativistisches Teilchen der Masse m in einem Potential V bestimmt die Schrödinger-Gleichung die zeitliche Entwicklung:

\mathrm{i}\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi

\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V

\hat H steht hier für den Energieoperator, \hbar für das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum und \Delta für den Laplace-Operator. Bei festgelegtem Anfangszustand entwickelt sich \psi nach dieser Gleichung bestimmt weiter. Einzelne Messergebnisse bleiben trotzdem probabilistisch. Photonen sind keine Lösungen dieser nichtrelativistischen Gleichung für massebehaftete Teilchen und benötigen einen anderen theoretischen Rahmen.

Derselbe abstrakte Zustand kann als \psi(x,t) im Ortsraum oder als \widetilde\psi(p,t) im Impulsraum beschrieben werden. Beide Darstellungen sind durch eine Fouriertransformation verbunden. Ein räumlich enges Wellenpaket benötigt deshalb ein breites Impulsspektrum. Diese Unbestimmtheit betrifft die möglichen Messwertverteilungen des Zustands; sie ist nicht bloß fehlendes Wissen über eine Bahn oder ein Gerätefehler.

Bei mehreren Teilchen hängt die gemeinsame Wellenfunktion von den Koordinaten aller Teilchen ab. Für N Teilchen liegt die Ortsdarstellung im 3N-dimensionalen Konfigurationsraum. Sie ist daher nicht allgemein als gewöhnliche Welle im dreidimensionalen Raum vorstellbar.