Superposition in Physik und Quantenmechanik

Eine allgemeine Linearkombination lautet:

x(t)=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i x_i(t)

x_i(t) sind die Beiträge und \alpha_i ihre Gewichtungen. Bei einer gewöhnlichen Summe sind alle Gewichtungen 1. Entscheidend ist die Linearität: Verdoppelst du eine Eingabe, verdoppelt sich ihre Wirkung. Die Wirkung zweier addierter Eingaben ist die Summe der Einzelwirkungen.

Wirken mehrere Kräfte auf denselben Körper, ergibt ihre Vektorsumme die resultierende Kraft:

\vec F=\sum_{i=1}^{n}\vec F_i

Du musst Betrag und Richtung berücksichtigen. Die tatsächlich wirkenden Kräfte werden auch bei veränderlicher Materialsteifigkeit vektoriell addiert. Ob du zusätzlich die Verformungen aus getrennten Lastfällen addieren darfst, hängt dagegen von einem linearen Verformungsmodell ab. Auch eine lineare Schaltung mit mehreren idealen Quellen lässt sich schrittweise untersuchen. Bei nichtlinearen Bauteilen oder verformungsabhängigen Systemen kann ein Beitrag die Wirkung eines anderen verändern.

Bei Wellen gleichen Typs werden die momentanen Amplituden an jedem Ort addiert:

\Psi(\vec x,t)=\sum_{i=1}^{n}\Psi_i(\vec x,t)

Diese Überlagerung heißt Interferenz. Gleichgerichtete Auslenkungen verstärken sich; entgegengesetzte schwächen sich ab und können sich bei gleichem Betrag auslöschen. Die Einzelwellen bleiben nach einer vorübergehenden Überlagerung erhalten.

Superponiert werden Amplituden, nicht die Intensitäten. Eine beobachtete Intensität hängt häufig vom Quadrat oder Betragsquadrat der Gesamtamplitude ab. Bei kohärenten Wellen darfst du deshalb nicht zuerst die Einzelintensitäten addieren.

Ein zulässiger Quantenzustand kann als Linearkombination zulässiger Teilzustände geschrieben werden:

|\psi\rangle=\sum_{i=1}^{n}c_i|\varphi_i\rangle

Die komplexen c_i heißen Wahrscheinlichkeitsamplituden. Sind die Teilzustände normiert und paarweise orthogonal, ist |c_i|^2 bei passender Messung die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses zum Zustand |\varphi_i\rangle.

Bei klassischer Unkenntnis steht ein Wert schon fest und ist nur unbekannt. Eine Quantensuperposition enthält dagegen Amplituden, deren Überlagerung Interferenz ermöglichen kann.

Eine ideale Messung dieser Teilzustände liefert ein einzelnes Ergebnis. Falls die Messung das System nicht zerstört, hinterlässt sie es im zugehörigen Zustand. Viele gleich vorbereitete Systeme zeigen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Schrödingers Katze ist ein Gedankenexperiment: In einer geschlossenen Box verbindet ein Mechanismus einen Atomzerfall mit dem Schicksal einer Katze. Die Überlagerung „zerfallen oder nicht zerfallen“ wird gedanklich auf „tot oder lebendig“ übertragen. Das ist keine alltägliche Gleichzeitigkeit zweier sichtbarer Zustände.

Bei Verschränkung gehört der überlagerte Zustand zu einem Gesamtsystem, etwa:

|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\downarrow\rangle+|\downarrow\uparrow\rangle\right)

Misst du beim ersten Elektron \uparrow, ergibt die anschließende Messung des zweiten in derselben Richtung sicher \downarrow. Ohne das erste Ergebnis liefern beide möglichen Ergebnisse beim zweiten je 50\,\%. Die Korrelation erlaubt keine steuerbare Nachricht mit Überlichtgeschwindigkeit, denn das einzelne Ergebnis ist nicht frei wählbar.