Doppelspalt: Interferenz verstehen und berechnen

Der Gangunterschied \Delta s ist die Differenz der Wege von beiden Spalten zu einem Schirmpunkt. Für einen weit entfernten Schirm gilt näherungsweise:

\Delta s=d\cdot\sin(\alpha)

Dabei ist d der Abstand der Spaltmitten und \alpha der Beobachtungswinkel zur Mittelachse. \Delta s bezeichnet den Gangunterschied; \lambda ist die Wellenlänge. Die folgenden Streifenbedingungen gelten für kohärente Wellen und gleichartige Spalte.

Ein Maximum der Ordnung k entsteht bei einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge:

\Delta s=k\lambda\quad(k=0,1,2,\ldots)

Damit gilt d\cdot\sin(\alpha)=k\lambda. Ein Minimum liegt bei einem ungeraden Vielfachen der halben Wellenlänge. Zählst du das erste Minimum mit k=1, gilt:

\Delta s=\left(k-\frac{1}{2}\right)\lambda\quad(k=1,2,3,\ldots)

Bei einer Zählung ab k=0 lautet dieselbe Bedingung \Delta s=(k+1/2)\lambda. Nur die Nummerierung ändert sich.

e ist der Abstand zwischen Doppelspalt und Schirm; a_k ist der Abstand des Maximums k von der Schirmmitte. Aus der Geometrie folgt exakt:

\sin(\alpha)=\frac{a_k}{\sqrt{e^2+a_k^2}}

Mit der Maximumsbedingung erhältst du:

\frac{k\lambda}{d}=\frac{a_k}{\sqrt{e^2+a_k^2}}

Für k>0 lässt sich nach der Wellenlänge auflösen:

\lambda=\frac{d\cdot a_k}{k\sqrt{e^2+a_k^2}}

Liegt das Maximum nahe an der Mitte, gilt a_k\ll e. Dann kannst du \sqrt{e^2+a_k^2} durch e annähern. Die Kleinwinkelnäherung ergibt:

a_k\approx\frac{k\lambda e}{d}

Für k>0 folgt daraus \lambda\approx d\cdot a_k/(ke).

Das einfache Modell behandelt beide Spalte wie punktförmige Wellenquellen. Reale Spalte besitzen eine endliche Breite. Deshalb entsteht an jedem einzelnen Spalt zusätzlich ein Beugungsmuster. Dieses Einzelspaltmuster bildet eine Einhüllende für die Doppelspaltstreifen: Die Maxima werden nach außen schwächer, und einzelne Maxima können unterdrückt werden.

Licht erzeugt unter den beschriebenen kohärenten Bedingungen helle und dunkle Interferenzstreifen. Klassische Kügelchen würden hinter zwei offenen Spalten dagegen näherungsweise zwei Trefferbereiche bilden. Elektronen liefern einzelne, örtlich begrenzte Treffer; nach vielen Elektronen entsteht trotzdem eine Verteilung mit Interferenzstreifen. Das Muster bleibt auch erhalten, wenn sich jeweils nur ein Elektron in der Anordnung befindet.

Ein einzelner Treffer lässt sich nicht genau vorhersagen. Für viele gleich vorbereitete Elektronen lässt sich jedoch eine statistische Verteilung angeben. Elektronen sind in diesem Versuch daher nicht angemessen als klassische Kügelchen mit einem stets festgelegten, nur unbekannten Weg zu beschreiben.

Werden die Elektronen so gemessen, dass der durchquerte Spalt eindeutig feststeht, verschwindet das Interferenzmuster. Entscheidend ist die physikalische Wechselwirkung, durch die Welcher-Weg-Information verfügbar wird; das Bewusstsein einer Person spielt dabei keine Rolle.