Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation erklärt

Stell dir viele Quantenobjekte vor, die auf dieselbe Weise präpariert, also in denselben quantenmechanischen Zustand gebracht wurden. Diesen Zustand beschreibt eine Wellenfunktion. Ihr Betragsquadrat liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte für mögliche Ortsnachweise. Misst du an jedem Objekt den Ort, erhältst du im Allgemeinen verschiedene Ergebnisse. Aus vielen Ergebnissen entsteht eine Ortsverteilung.

Die Unbestimmtheit gehört zum präparierten Zustand. Sie bedeutet nicht nur, dass du einen vorhandenen exakten Wert noch nicht kennst. Selbst gleichartig präparierte Objekte liefern verteilte Ergebnisse. Ein einzelner Nachweis zeigt dagegen nur ein Ereignis, etwa einen Auftreffpunkt auf einem Schirm. Erst viele gleichartige Nachweise machen die Wahrscheinlichkeitsverteilung sichtbar.

Für die Standardabweichungen von Ort und Impuls in derselben Raumrichtung gilt:

\sigma_x\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}

Dabei ist \hbar=h/(2\pi) das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum. Entsprechend gilt h/(4\pi)=\hbar/2. Die Ungleichung setzt eine Untergrenze für das Produkt der Streuungen. Sie sagt nicht, dass \sigma_x und \sigma_p gleich groß sind; ihre Einheiten unterscheiden sich.

\sigma_x hat die Einheit Meter; \sigma_p hat die Einheit Kilogramm mal Meter pro Sekunde. Das Produkt hat die Einheit einer Wirkung, genau wie \hbar. Die Formel gilt für zusammengehörige Richtungen: x und p_x, y und p_y oder z und p_z. Eine kleine Streuung von x erzwingt daher nicht unmittelbar eine große Streuung von p_y.

Ein Quantenzustand kann durch eine Wellenfunktion \psi(x) beschrieben werden. Das Betragsquadrat |\psi(x)|^2 liefert die räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte: Wo es groß ist, sind Nachweise wahrscheinlicher. Es sagt nicht voraus, an welchem einzelnen Punkt das nächste Objekt gefunden wird.

Orts- und Impulsdarstellung derselben Wellenfunktion sind durch eine Fouriertransformation verbunden. Ein räumlich enges Wellenpaket benötigt viele verschiedene Wellenzahlen. Über p=\hbar k entsprechen diese Wellenzahlen verschiedenen Impulsen. Deshalb besitzt ein enges Ortswellenpaket ein breites Impulsspektrum.

Eine einfache Spaltabschätzung verwendet getrennt d\sin(\alpha)\sim\lambda und \lambda=h/p. Daraus folgt größenordnungsmäßig:

d\,\Delta p_x\sim h

Diese Rechnung zeigt den gegenläufigen Zusammenhang. Sie liefert nicht die exakte Konstante der Standardabweichungsrelation und verwendet andere Breitenmaße.

Forme die Ungleichung nach der gesuchten Mindeststreuung um:

\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2\sigma_x}

Entsprechend gilt:

\sigma_x\ge\frac{\hbar}{2\sigma_p}

Beachte mindestens: Die Rechnung liefert eine Untergrenze. Die Streuung eines konkreten Zustands kann größer sein.

Unterscheide drei Aussagen: Zustandsstreuung begrenzt die gleichzeitig erreichbare Schärfe der Orts- und Impulsverteilung. Bei einer simultanen Messung sollen beide Größen gemeinsam bestimmt werden. Messrauschen und Störung beschreiben Abweichung oder Zustandsänderung durch eine Messung. Diese Aussagen hängen zusammen, sind aber nicht identisch. Die Standardformel beschreibt Zustandsstreuungen, nicht einfach Geräteungenauigkeit oder Rückstoß bei einer einzelnen Messung.

Die Formulierung „Die Ortsmessung stört den vorher exakt vorhandenen Impuls“ kann eine falsche klassische Vorstellung fördern. Der präparierte Zustand besitzt keine gleichzeitig beliebig schmalen Orts- und Impulsverteilungen. \Delta x\Delta p\sim h ist eine Größenordnungsabschätzung mit anderen Breitenmaßen. Die Energie-Zeit-Beziehung hat eine andere Bedeutung, weil Zeit in der Standard-Quantenmechanik kein gewöhnlicher Zustandsoperator wie der Ort ist. Eine klassische Bahn setzt zu jedem Zeitpunkt einen genauen Ort und Impuls voraus. Ein Schirmbild belegt daher keine vorher festgelegten klassischen Bahnen.