Physik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Materiewellen: De-Broglie-Wellenlänge verstehen
Erkenne Materiewellen am Interferenzmuster und berechne die De-Broglie-Wellenlänge aus dem Impuls.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Materiewellen beschreiben das Wellenverhalten von Teilchen wie Elektronen. Ihre De-Broglie-Wellenlänge ist \lambda=h/p, wobei p der Betrag des Impulses ist: Je größer p, desto kleiner die Wellenlänge. Viele einzelne Elektronentreffer können ein Interferenzmuster bilden.
Materieteilchen wie Elektronen können Interferenz und Beugung zeigen. Ihre De-Broglie-Wellenlänge hängt vom Impuls ab. Einzelne Teilchen werden dabei punktförmig nachgewiesen; erst viele Treffer machen die Wahrscheinlichkeitsverteilung sichtbar.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir vor, Elektronen fliegen einzeln durch einen Doppelspalt. Auf dem Schirm erscheint jedes Elektron als einzelner, örtlich begrenzter Treffer. Nach vielen Elektronen entsteht ein Muster aus Bereichen mit vielen und wenigen Treffern.
Ein solches Interferenzmuster ist typisch für überlagerte Wellen. Es entsteht auch dann, wenn sich nur ein Elektron in der Versuchsanordnung befindet. Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Elektronen sind dafür nicht nötig.
Wird festgestellt, welchen Spalt ein Elektron durchlaufen hat, verändert sich das Interferenzmuster. Die beobachtete Verteilung hängt von der gesamten Messanordnung ab.
Definition
Welle-Teilchen-Dualismus
Quantenobjekte lassen sich nicht durchgehend als klassische Teilchen oder klassische Wellen beschreiben. Je nach Versuch zeigen sie beispielsweise punktförmige Nachweise oder Interferenz. Sie sind nicht einfach beides zugleich im klassischen Sinn.
Teste dich
Louis de Broglie ordnete jedem Teilchen mit einem Impuls eine Wellenlänge zu. Entscheidend ist der Betrag des Impulses, nicht seine Richtung: Größerer Impulsbetrag bedeutet kleinere Wellenlänge. Kleinerer Impulsbetrag bedeutet größere Wellenlänge. Beugung wird gut sichtbar, wenn Spaltbreiten oder Gitterabstände ungefähr in der Größenordnung der Wellenlänge liegen. Bei einem Alltagsgegenstand mit gewöhnlicher Bewegungsgeschwindigkeit ist der Impulsbetrag wegen seiner großen Masse im Vergleich zu einem Elektron sehr groß. Seine Wellenlänge ist deshalb extrem klein.
Definition
De-Broglie-Wellenlänge
Die De-Broglie-Wellenlänge \lambda eines Teilchens mit Impulsbetrag p lautet: \lambda=\frac{h}{p} Dabei ist h das Plancksche Wirkungsquantum. Für langsame, nichtrelativistische Teilchen gilt zusätzlich p=mv mit dem Betrag v der Geschwindigkeit.
Merke: Verdoppelst du den Betrag des Impulses, halbiert sich die De-Broglie-Wellenlänge.
Beispiel
- 1Eine Kugel mit m=1\,\mathrm{g}=10^{-3}\,\mathrm{kg} bewegt sich mit v=1000\,\mathrm{m/s}.
- 2Bestimme zuerst den Impuls:
- 3p=mv
- 4p=10^{-3}\,\mathrm{kg}\cdot1000\,\mathrm{m/s}
- 5p=1\,\mathrm{kg\,m/s}
- 6Setze diesen Impuls mit h\approx6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{J\,s} in die De-Broglie-Beziehung ein:
- 7\lambda=\frac{h}{p}
- 8\lambda\approx\frac{6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{J\,s}}{1\,\mathrm{kg\,m/s}}
- 9\lambda\approx6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{m}
- 10Diese Wellenlänge ist weit kleiner als atomare Abstände. Eine beobachtbare Beugung der Kugel ist deshalb praktisch nicht zu erwarten.
Teste dich
Bei nichtrelativistischen Elektronen kannst du zwischen Impulsbetrag, Geschwindigkeit und Beschleunigungsspannung wechseln. Für die folgenden Beträge schreiben wir kurz p.
Für den Abstand x zwischen dem nullten und ersten Maximum eines Doppelspalts gilt bei kleinen Winkeln näherungsweise:
x\approx l\frac{\lambda}{b}
Mit Schirmabstand l=1{,}0\,\mathrm{m} und Spaltmittenabstand b=6{,}2\,\mathrm{\mu m} erhältst du für \lambda=30\,\mathrm{pm}:
x\approx1{,}0\,\mathrm{m}\cdot\frac{30\,\mathrm{pm}}{6{,}2\,\mathrm{\mu m}}
x\approx4{,}8\,\mathrm{\mu m}
Beispiel
- 1Ein Elektron besitzt die De-Broglie-Wellenlänge \lambda=30\,\mathrm{pm}=30\cdot10^{-12}\,\mathrm{m}.
- 2Verwende h\approx6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{J\,s}. Bestimme zuerst den Impulsbetrag:
- 3p=\frac{h}{\lambda}
- 4p\approx\frac{6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{J\,s}}{30\,\mathrm{pm}}
- 5p\approx2{,}21\cdot10^{-23}\,\mathrm{kg\,m/s}
- 6Berechne daraus mit m_\mathrm{e}\approx9{,}109\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg} die Geschwindigkeit:
- 7v=\frac{p}{m_\mathrm{e}}
- 8v\approx\frac{2{,}2087\cdot10^{-23}\,\mathrm{kg\,m/s}}{9{,}109\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}}
- 9v\approx2{,}4\cdot10^7\,\mathrm{m/s}
- 10Wurde das Elektron aus der Ruhe durch eine Spannung U beschleunigt, gilt mit e\approx1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C} näherungsweise:
- 11eU=\frac12m_\mathrm{e}v^2
- 12Berechne zunächst die Bewegungsenergie. Nutze dazu für den Impuls fünf signifikante Stellen:
- 13E_\mathrm{kin}=\frac{p^2}{2m_\mathrm{e}}
- 14E_\mathrm{kin}\approx\frac{(2{,}2087\cdot10^{-23}\,\mathrm{kg\,m/s})^2}{2\cdot9{,}109\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}}
- 15E_\mathrm{kin}\approx2{,}678\cdot10^{-16}\,\mathrm{J}
- 16Teile durch die Ladung e, um die Spannung zu erhalten:
- 17U=\frac{E_\mathrm{kin}}{e}
- 18U\approx\frac{2{,}678\cdot10^{-16}\,\mathrm{J}}{1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}}
- 19U\approx1{,}7\cdot10^3\,\mathrm{V}=1{,}7\,\mathrm{kV}
- 20Die Einheiten passen: Energie pro Ladung ergibt Volt.
Merke: Bestimme zuerst den Zusammenhang, setze alle Größen in SI-Einheiten um und prüfe das Ergebnis anschließend auf Einheit und Größenordnung.
Teste dich
Eine Materiewelle ist keine klassische Stoffwelle, in der sich die Masse des Teilchens räumlich verteilt. Die Quantenmechanik beschreibt den Zustand durch eine im Allgemeinen komplexe Wellenfunktion \Psi. Ein einzelnes Messergebnis ist punktförmig und nicht vorhersagbar. Wiederholst du denselben Versuch mit vielen gleich präparierten Elektronen, nähern sich die Trefferhäufigkeiten der von |\Psi|^2 beschriebenen Verteilung an.
Eine einzelne ebene Welle erstreckt sich idealisiert über den ganzen Raum. Ihr Betragsquadrat ist überall gleich. Sie kann daher kein räumlich lokalisiertes Teilchen darstellen. Eine stärkere räumliche Eingrenzung benötigt eine größere Bandbreite von Impulsen. Das verbindet das Wellenpaket mit der Unschärfe von Ort und Impuls.
Die Gruppengeschwindigkeit beschreibt die Bewegung des Wellenpakets. Für ein freies Teilchen stimmt sie mit der Teilchengeschwindigkeit überein:
v_\mathrm{g}=\frac{d\omega}{dk}=v
Die Phasengeschwindigkeit beschreibt dagegen die Bewegung einer Stelle gleicher Phase:
v_\mathrm{ph}=\frac{\omega}{k}
Sie ist nicht die Geschwindigkeit, mit der das Teilchen oder Information übertragen wird. Wegen der nichtlinearen Dispersionsbeziehung eines freien massebehafteten Teilchens können sich die Bestandteile eines Wellenpakets unterschiedlich entwickeln; das Paket kann sich verbreitern.
Definition
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
Das Betragsquadrat |\Psi(\vec r,t)|^2 gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür an, ein Teilchen zur Zeit t am Ort \vec r nachzuweisen. In einem kleinen Raumbereich ist die Nachweiswahrscheinlichkeit näherungsweise gleich der Dichte mal dem Volumen, sofern sich die Dichte dort kaum ändert.
Definition
Wellenpaket
Ein Wellenpaket ist eine Überlagerung von Wellen mit unterschiedlichen Wellenzahlen und Impulsen. Nur in einem begrenzten Bereich verstärken sich die Teilwellen stark. Dort ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit besonders groß.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Materiewellen
De-Broglie-Beziehung
\lambda=h/p
Nachweis
Beugung und Interferenz
Einzelereignis
punktförmiger Treffer
Viele Ereignisse
Verteilung gemäß |\Psi|^2
Lokalisierung
Überlagerung zum Wellenpaket
Alltagsgrenze
zu kleine Wellenlänge
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wellenlänge aus einem gegebenen Impuls
- 1Ein Teilchen hat den Impuls p=2{,}0\cdot10^{-24}\,\mathrm{kg\,m/s}. Verwende h\approx6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{J\,s}.
- 2Setze den Impuls in die De-Broglie-Beziehung ein:
- 3\lambda=\frac{h}{p}
- 4\lambda\approx\frac{6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{J\,s}}{2{,}0\cdot10^{-24}\,\mathrm{kg\,m/s}}
- 5\lambda\approx3{,}3\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}
- 6Die Wellenlänge liegt in der Größenordnung atomarer Abstände; an passenden Strukturen kann Beugung sichtbar werden.
Fehler finden
Fehler finden: Impuls verdoppeln In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Impuls und Wellenlänge wurden direkt statt umgekehrt proportional gesetzt. Richtig ist \lambda_2=\lambda_1/2; beim doppelten Impuls halbiert sich die Wellenlänge.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ein einzelnes Elektron erzeugt einen Nachweis. Viele gleich präparierte Elektronen bilden eine Trefferverteilung. Die Wahrscheinlichkeitsdichte für einen Ortsnachweis wird durch beschrieben. Die Materiewelle ist keine klassische Stoffwelle.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback