Mechanische Schwingungen einfach erklärt

Ein Fadenpendel zeigt das Grundprinzip: Du lenkst es leicht aus und lässt los. Die rücktreibende Kraft beschleunigt es zur Gleichgewichtslage. Wegen seiner Trägheit bewegt es sich darüber hinaus bis zum Umkehrpunkt und danach zurück. Nötig sind ein schwingungsfähiges System, eine Auslenkung und eine rücktreibende Kraft.

Eine ideale Schwingung ist periodisch: Nach gleicher Zeit kehren Ort, Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit gemeinsam wieder. Eine Drehung kann periodisch sein, ohne eine Schwingung um eine stabile Gleichgewichtslage zu sein.

Die Auslenkung x misst den momentanen Abstand zur Gleichgewichtslage mit Vorzeichen. Die Amplitude \hat{x} ist der größte Betrag der Auslenkung und liegt am Umkehrpunkt. Die Periodendauer T ist die Zeit für einen vollen Zyklus; die Frequenz f zählt Zyklen pro Sekunde. Es gilt 1\,\mathrm{Hz}=1/\mathrm{s}.

Beide Größen sind Kehrwerte:

f=\frac{1}{T}

Ebenso gilt T=\frac{1}{f}. Miss mehrere Schwingungen, damit Start- und Stoppfehler weniger ins Gewicht fallen.

In einem Auslenkung-Zeit-Diagramm steht die Zeit waagerecht und die Auslenkung senkrecht. Die Amplitude ist der größte Abstand zur Nulllinie; die Periodendauer ist der Zeitabstand zwischen gleichen aufeinanderfolgenden Bewegungszuständen, etwa zwei oberen Maxima. Die Werte in der Tabelle beginnen bei null und steigen zunächst: Nach 2{,}0\,\mathrm{s} stimmen Auslenkung und Bewegungsrichtung wieder mit dem Anfang überein. Daher sind \hat{x}=4\,\mathrm{cm}, T=2{,}0\,\mathrm{s} und f=0{,}5\,\mathrm{Hz}.

Nicht jede Schwingung ist sinusförmig. Beim harmonischen Modell ist die Rückstellkraft der Auslenkung entgegengerichtet und proportional zu ihr. Beginnt die Bewegung bei der maximalen positiven Auslenkung, passt die Kosinusform:

x(t)=\hat{x}\cos(\omega t)

Die Kreisfrequenz \omega erfüllt \omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}.

Ableiten nach der Zeit liefert die Geschwindigkeit:

v(t)=-\omega\hat{x}\sin(\omega t)

Für die Beschleunigung gilt:

a(t)=-\omega^2\hat{x}\cos(\omega t)

a(t)=-\omega^2x(t)

Beschleunigung und Auslenkung zeigen entgegengesetzt; in der Gleichgewichtslage ist der Geschwindigkeitsbetrag am größten.

Die Schwingungsdauer hängt vom Modell des Schwingers ab.

Federpendel: Für die Masse m an einer idealen Feder mit Federkonstante D gilt:

\omega=\sqrt{\frac{D}{m}}

Die Periodendauer lautet:

T=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}

Mehr Masse verlängert T, eine härtere Feder mit größerem D verkürzt es. Im idealen harmonischen Modell hängt T nicht von der Amplitude ab.

Fadenpendel: Für die Fadenlänge l gilt bei kleinen Auslenkungen näherungsweise:

T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

g ist der Ortsfaktor. Unter diesen Bedingungen hängt T nicht von der Pendelmasse ab. Bei großen Auslenkungen ist die Formel nicht zuverlässig.

Bei einer ungedämpften Schwingung bleibt die gesamte mechanische Energie erhalten, aber ihre Form wechselt. Am Umkehrpunkt ist die Geschwindigkeit null: Die potenzielle Energie ist maximal, die kinetische null. In der Gleichgewichtslage ist der Geschwindigkeitsbetrag und damit die kinetische Energie maximal. Dazwischen wandeln sich beide Formen ineinander um.

Eine freie gedämpfte Schwingung verliert mechanische Energie. Ihre Amplitude nimmt ab; sie wiederholt den Zustand deshalb nicht exakt. Solange sie die Gleichgewichtslage wiederholt überquert, schwingt sie weiter. Bei stärkerer Dämpfung kann sie ohne Überschwingen zurückkehren.

Eine einmal angeschlagene Stimmgabel führt eine freie, real gedämpfte Schwingung aus. Eine regelmäßig angestoßene Schaukel wird von außen angeregt und schwingt erzwungen. Bei einer erzwungenen Schwingung kann die Amplitude trotz Dämpfung nach dem Einschwingen konstant bleiben, weil der Antrieb die Energieverluste ausgleicht.