Harmonische Wellen: Größen und Wellenfunktion

Eine Schwingung ist die wiederkehrende Bewegung eines Punktes um seine Gleichgewichtslage. Eine Welle entsteht, wenn sich diese Bewegung durch die Kopplung benachbarter Punkte räumlich fortpflanzt.

Die Punkte des Mediums wandern nicht mit einem Wellenberg durch den gesamten Raum. Sie schwingen an ihrem Ort, während sich die Störung und ihre Energie ausbreiten. Bei einer Querwelle auf einem Seil kann die Störung entlang der x-Achse laufen, während die Seilpunkte in y-Richtung schwingen.

Die Amplitude A ist der größte Betrag der Auslenkung; diese liegt zwischen -A und +A. Die Periodendauer T ist die Zeit einer Schwingung. Die Frequenz f zählt Schwingungen pro Sekunde.

f=\frac{1}{T}

Ihre Einheit ist Hertz: 1\,\mathrm{Hz}=1\,\mathrm{s}^{-1}. Die Wellenlänge \lambda ist der Abstand benachbarter Punkte gleicher Phase, etwa zweier Wellenberge. In einer Periodendauer legt die Welle eine Wellenlänge zurück. Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c gilt:

c=\frac{\lambda}{T}=\lambda f

Die Kreisfrequenz \omega beschreibt die zeitliche, die Kreiswellenzahl k die räumliche Phasenänderung.

\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f

k=\frac{2\pi}{\lambda}

Damit folgt c=\omega/k.

Für eine harmonische Welle in positive x-Richtung ist eine mögliche Wellenfunktion:

y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi_0)

Dabei ist y(x,t) die Auslenkung am Ort x zur Zeit t, A die Amplitude und \varphi_0 die Anfangsphase. Der Ausdruck kx-\omega t+\varphi_0 ist die dimensionslose Phase: k hat die Einheit \mathrm{m}^{-1} und \omega die Einheit \mathrm{s}^{-1}.

Dieselbe Laufrichtung kann mit anderer Phasenwahl beschrieben werden:

y(x,t)=A\sin\left(2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)\right)

Bei Orts- und Zeitterm mit verschiedenen Vorzeichen läuft die Welle in positive x-Richtung; bei gleichen Vorzeichen in negative. Das gilt auch für Kosinus. Für kx-\omega t=\text{konstant} muss x mit der Zeit wachsen.

Im Momentbild ist t fest: Die waagerechte Achse zeigt den Ort x, und der Abstand benachbarter Wellenberge ist \lambda. Im Zeitverlauf ist x fest: Die waagerechte Achse zeigt t, und der Abstand aufeinanderfolgender Maxima ist T. In beiden Bildern ist die Amplitude der größte Betrag der Auslenkung.

Punkte im Abstand \lambda sind phasengleich: Ihre Phasen unterscheiden sich um 2\pi. Im Abstand \lambda/2 beträgt die Phasendifferenz \pi; ihre Auslenkungen haben außer beim gemeinsamen Nulldurchgang entgegengesetzte Vorzeichen.

Eine erst zu t=0 am Ursprung gestartete Störung erreicht einen Ort x_1 nach \Delta t=x_1/c. Eine sinusförmige Funktion beschreibt die Schwingung dort erst ab dem Eintreffen; davor bleibt der Punkt in Ruhe.

Eine harmonische Welle transportiert Energie. Die Intensität I ist die pro Zeit und Fläche transportierte Energie. Für eine ebene, fortschreitende harmonische mechanische Welle in einem idealisierten verlustfreien, nichtdispersiven Medium mit Massendichte \rho gilt:

I=\frac{1}{2}\rho c\omega^2A^2

Bei gleichem Medium und gleicher Ausbreitungsgeschwindigkeit folgt I\propto\omega^2A^2. Wenn nur die Amplitude oder nur die Kreisfrequenz verdoppelt wird, vervierfacht sich die Intensität.