Gedämpfte Schwingung: Fälle und Berechnung

Lenkst du ein Federpendel aus und lässt es los, wechseln Bewegungsenergie und Spannenergie der Feder. Reibung wandelt einen Teil der mechanischen Energie etwa in Wärme um. Die Auslenkung oder Elongation x(t) beschreibt die Lage relativ zur Ruhelage mit Vorzeichen; die Amplitude A ist der größte Betrag innerhalb einer Schwingung. Ihr Abnehmen zeigt die Dämpfung. Dämpfung bedeutet nicht bloß eine langsamere Bewegung.

Im linearen Modell betrachten wir eine Masse m an einer Feder mit Federkonstante k. Die Federkraft zeigt zur Ruhelage:

F_\mathrm{F}=-kx

Die angenommene Reibungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit \dot x und ihr entgegengerichtet:

F_\mathrm{R}=-d\dot x

Dabei ist d die Dämpfungskonstante. Nach Newtons zweitem Gesetz gilt:

m\ddot x=-kx-d\dot x

Durch Umstellen und Teilen durch m folgt:

\ddot x+\frac{d}{m}\dot x+\frac{k}{m}x=0

Mit \delta=\frac{d}{2m} als Abklingkonstante und \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}} als ungedämpfter Eigenkreisfrequenz lautet die Normalform:

\ddot x+2\delta\dot x+\omega_0^2x=0

Die Federkraft wirkt der Auslenkung entgegen, die Reibungskraft der Geschwindigkeit. Lineare Reibung ist eine Näherung und passt nicht zu jeder realen Bewegung.

Im Schwingfall lässt sich die Auslenkung schreiben als:

x(t)=A_0e^{-\delta t}\cos(\omega_dt+\varphi_0)

Anfangsauslenkung und Anfangsgeschwindigkeit legen A_0 und \varphi_0 fest. Der Kosinus beschreibt das Hin und Her; der Faktor A(t)=A_0e^{-\delta t} ist die abnehmende Hüllkurve. Die Einheit von \delta ist \mathrm{s}^{-1}, sodass -\delta t einheitenlos ist.

Im Schwingfall gilt für die gedämpfte Kreisfrequenz:

\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\delta^2}

Die Periodendauer beträgt T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}.

Die Frequenz beträgt f_d=\frac{\omega_d}{2\pi}.

Weil \omega_d<\omega_0, ist die gedämpfte Schwingung langsamer als die ungedämpfte; bei schwacher Dämpfung ist der Unterschied klein. An gleichartigen Umkehrpunkten ist die mechanische Energie proportional zum Quadrat der jeweiligen Auslenkung. Zwischen zwei solchen Punkten im Abstand T_d sinkt sie im linearen Modell um den Faktor e^{-2\delta T_d}. Die momentane Gesamtenergie folgt dagegen nicht exakt einer Exponentialfunktion.

Der Vergleich von \delta und \omega_0 entscheidet über die Bewegung. Für den Vergleich der Rückkehrgeschwindigkeit betrachten wir dieselbe Anfangsauslenkung und lassen die Masse jeweils aus der Ruhe los.

Schwingfall: Bei \delta<\omega_0 überquert die Masse die Ruhelage wiederholt. Die Amplitude fällt exponentiell; \omega_d ist reell und kleiner als \omega_0.

Aperiodischer Grenzfall: Bei \delta=\omega_0 schwingt das System nicht periodisch. Die allgemeine Bewegung lautet:

x(t)=e^{-\delta t}(C_1+C_2t)

Für die beschriebene Anfangsbedingung kehrt es ohne Überschwingen am schnellsten zur Ruhelage zurück. Bei anderer Anfangsgeschwindigkeit kann es einmal überschwingen.

Kriechfall: Bei \delta>\omega_0 sind die charakteristischen Größen reell:

\lambda_{1,2}=-\delta\pm\sqrt{\delta^2-\omega_0^2}

Die Bewegung besteht aus zwei abklingenden Exponentialtermen. Sie kehrt ohne periodische Schwingung zurück, bei gleicher Anfangsbedingung aber langsamer als im Grenzfall.

Im Schwingfall vergleiche zwei aufeinanderfolgende positive Maximalamplituden A_n und A_{n+1} im Abstand der Periodendauer T_d:

q=\frac{A_n}{A_{n+1}}=e^{\delta T_d}

Daraus folgt \delta=\frac{\ln q}{T_d}. Der natürliche Logarithmus des Verhältnisses heißt logarithmisches Dekrement: \Lambda=\ln q=\delta T_d.

Mehrere Messwerte kannst du linearisieren. Teile jede Amplitude durch die Anfangsamplitude, damit der Logarithmus eine einheitenlose Zahl erhält:

\ln\!\left(\frac{A(t)}{A_0}\right)=-\delta t

Trägst du \ln(A(t)/A_0) gegen die Zeit t auf, liegen die Punkte näherungsweise auf einer Geraden mit Steigung -\delta.

Die geeignete Dämpfung hängt von der Anwendung ab. Ein schwach gedämpftes Trommelfell kann nach dem Anschlag noch hörbar schwingen. Eine Fahrzeugfederung soll Unebenheiten ausgleichen, ohne lange nachzuschwingen; daher strebt man eine Dämpfung nahe dem Grenzfall an. Ein stark gedämpfter Anzeigezeiger bewegt sich ruhig, erreicht seinen Endwert aber langsam.

Das Modell F_\mathrm{R}=-d\dot x hat Grenzen. Reale Reibung kann näherungsweise konstant oder proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit sein. Dann gelten die Exponentialgesetze nicht ohne Weiteres.