Hookesches Gesetz: Federkraft sicher berechnen

Hängst du nacheinander gleiche Massestücke an eine Feder, nimmt ihre Verlängerung zu. Im linear-elastischen Bereich führt die doppelte zusätzliche Kraft zur doppelten Verlängerung. Proportional bedeutet: Der Quotient aus Kraftänderung und Längenänderung bleibt gleich.

Aus Anfangs- und Endwerten bestimmst du zuerst die Änderungen:

\Delta x=x_{\mathrm{Ende}}-x_{\mathrm{Anfang}}

\Delta F=F_{\mathrm{Ende}}-F_{\mathrm{Anfang}}

Mit der Federkonstante D folgen die Rechenformen:

\Delta F=D\cdot\Delta x

D=\frac{\Delta F}{\Delta x}

\Delta x=\frac{\Delta F}{D}

Beginnt die zusätzliche Belastung bei null, schreibt man für die Kraftbeträge kurz F=D\cdot s. Dabei ist s die Verlängerung und nicht die gesamte Federlänge.

Eine unbelastete Feder ist 15\,\mathrm{cm} lang. Eine zusätzliche Kraft von 0{,}60\,\mathrm N verlängert sie auf 25\,\mathrm{cm}. Im Beispiel wird daraus die Federkonstante bestimmt.

Dieselbe Feder wird im proportionalen Bereich um 8\,\mathrm{cm}=0{,}08\,\mathrm m verlängert. Ihre Kraftänderung ist:

\Delta F=6\,\mathrm{N/m}\cdot0{,}08\,\mathrm m

\Delta F=0{,}48\,\mathrm N

Im Kraft-Verlängerungs-Diagramm steht die Verlängerung \Delta x auf der waagerechten Achse in Metern und die Kraftänderung \Delta F auf der senkrechten Achse in Newton. Die Beispielwerte für D=6\,\mathrm{N/m} liegen auf einer Geraden durch den Ursprung.

Die Steigung dieser Geraden ist die Federkonstante:

D=\frac{0{,}30\,\mathrm N}{0{,}05\,\mathrm m}

D=6\,\mathrm{N/m}

Vergleichst du zwei Federn in diesem Diagramm, gehört die steilere Gerade zur härteren Feder. Für dieselbe Verlängerung braucht sie mehr Kraft.

Das hookesche Gesetz beschreibt nur den proportionalen Bereich. Dort ergibt die Messwertdarstellung eine Ursprungsgerade, und die Feder kehrt nach dem Entlasten in ihre Ausgangsform zurück. Auch ein elastischer Körper muss nicht über jeden Belastungsbereich linear reagieren. Verlässt die Messkurve die Gerade, ändert sich der Quotient \frac{\Delta F}{\Delta x}; das einfache Gesetz passt dann nicht mehr. Bei zu großer Belastung kann die Feder dauerhaft verformt werden oder brechen.

Hängt eine Masse ruhig an einer senkrechten Feder, zieht ihre Gewichtskraft F_G nach unten. Die gespannte Feder übt eine Federkraft F_F nach oben aus. Im ruhenden Gleichgewicht sind die Beträge gleich, die Richtungen entgegengesetzt.

Für eine Masse m gilt:

F_G=m\cdot g

Nahe der Erdoberfläche verwenden wir näherungsweise g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}. Für m=0{,}20\,\mathrm{kg} folgt:

F_G=0{,}20\,\mathrm{kg}\cdot9{,}81\,\mathrm{m/s^2}

F_G=1{,}962\,\mathrm N\approx2{,}0\,\mathrm N

Die Angabe 2{,}0\,\mathrm N ist auf zwei gültige Ziffern gerundet, wie die gegebene Masse. Im ruhenden Gleichgewicht kann dieser Betrag als belastende Kraft in F=D\cdot s eingesetzt werden. Die Kräfte bleiben verschieden: Die Erde verursacht die Gewichtskraft, die Feder die Federkraft.

Wählst du die Auslenkung s als positive Richtung, zeigt die Rückstellkraft entgegengesetzt:

F_R=-D\cdot s

Für reine Betragsrechnungen nutzt du F=D\cdot s.