Physik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Kreisbewegung: Größen, Kräfte und Formeln
Erkenne die Beschleunigung auf einer Kreisbahn und berechne Umlaufgrößen sowie Zentripetalkraft.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Bei gleichförmiger Kreisbewegung bleiben Radius und Geschwindigkeitsbetrag konstant, aber die Bewegungsrichtung ändert sich. Die Beschleunigung zeigt zum Zentrum und hat den Betrag a_\mathrm Z=v^2/r; die nötige resultierende Kraft ist F_\mathrm Z=ma_\mathrm Z.
Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung bewegt sich ein Körper auf einer Kreisbahn. Der Betrag seiner Geschwindigkeit bleibt konstant, ihre Richtung ändert sich jedoch ständig. Deshalb ist die Bewegung beschleunigt und benötigt eine zum Mittelpunkt gerichtete resultierende Kraft. Auf dieser Seite lernst du, die wichtigsten Größen zu unterscheiden, Bewegungsdaten zu berechnen und die Rolle der Zentripetalkraft richtig zu erklären.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Körper auf einer gleichförmigen Kreisbahn bleibt im konstanten Abstand r vom Mittelpunkt und legt in gleichen Zeiten gleiche Strecken zurück. Gleichförmig bezeichnet hier den konstanten Betrag der Bahngeschwindigkeit. Ihr Vektor liegt tangential zur Bahn und senkrecht zum Radius. Seine Richtung ändert sich fortlaufend; deshalb ist der Körper trotz konstantem Geschwindigkeitsbetrag beschleunigt.
Für den Drehwinkel \varphi im Bogenmaß gilt:
s=r\varphi
Ein Umlauf entspricht 360^\circ=2\pi\,\mathrm{rad} und der Strecke s=2\pi r. Die Umlaufdauer T ist die Zeit für einen Umlauf in Sekunden; die Frequenz f zählt Umläufe pro Sekunde in Hertz. Beide sind Kehrwerte:
f=\frac{1}{T}
Die Winkelgeschwindigkeit \omega misst die Winkeländerung pro Zeit in Radiant pro Sekunde. Bei gleichförmiger Kreisbewegung gilt:
\omega=\frac{2\pi}{T}
Definition
Drehzentrum und Radius
Das Drehzentrum ist der Mittelpunkt der Kreisbahn. Der Radius r ist der konstante Abstand des Körpers von diesem Mittelpunkt.
Merke: Konstanter Geschwindigkeitsbetrag bedeutet nicht automatisch, dass keine Beschleunigung vorliegt. Auch eine reine Richtungsänderung ist eine Beschleunigung.
Definition
Umlaufdauer
Die Umlaufdauer T ist die Zeit für genau einen vollständigen Umlauf. Ihre Einheit ist die Sekunde \mathrm{s}.
Teste dich
Während eines Umlaufs legt der Körper den Umfang 2\pi r in der Zeit T zurück. Für den Betrag seiner Bahngeschwindigkeit gilt:
v=\frac{2\pi r}{T}=\omega r
Bei gleicher Winkelgeschwindigkeit ist ein weiter außen liegender Punkt schneller, weil er in derselben Zeit einen längeren Kreisbogen zurücklegt.
Beispiel
- 1Ein Sitz eines Modellkarussells hat den Radius r=2\,\mathrm m und benötigt für einen Umlauf T=4\,\mathrm s.
- 2Die Frequenz beträgt f=1/(4\,\mathrm s)=0{,}25\,\mathrm{Hz}: ein Viertel Umlauf pro Sekunde.
- 3Die Winkelgeschwindigkeit ist:
- 4\omega=\frac{2\pi}{4\,\mathrm s}=\frac{\pi}{2}\,\mathrm{rad/s}
- 5Gerundet gilt \omega\approx1{,}57\,\mathrm{rad/s}.
- 6Mit dem ungerundeten Wert folgt die Bahngeschwindigkeit:
- 7v=\frac{\pi}{2}\,\mathrm{rad/s}\cdot2\,\mathrm m
- 8v=\pi\,\mathrm{m/s}\approx3{,}14\,\mathrm{m/s}
Teste dich
Eine Änderung der Geschwindigkeitsrichtung ist eine Beschleunigung. Bei gleichförmiger Kreisbewegung zeigt die Zentripetalbeschleunigung zum Mittelpunkt und steht senkrecht zur momentanen Bahngeschwindigkeit. Daher ändert sie deren Richtung, nicht ihren Betrag.
a_\mathrm Z=\frac{v^2}{r}=\omega^2r
Ihre Einheit ist \mathrm{m/s^2}. Für den Karussellsitz mit dem ungerundeten Wert v=\pi\,\mathrm{m/s} und r=2\,\mathrm m gilt:
a_\mathrm Z=\frac{(\pi\,\mathrm{m/s})^2}{2\,\mathrm m}
a_\mathrm Z=\frac{\pi^2}{2}\,\mathrm{m/s^2}\approx4{,}93\,\mathrm{m/s^2}
Merke: Bei festem Radius wächst a_\mathrm{Z} mit dem Quadrat der Bahngeschwindigkeit. Verdoppelst du v, vervierfacht sich a_\mathrm{Z}.
Teste dich
Eine zum Mittelpunkt gerichtete resultierende Kraft bewirkt die Zentripetalbeschleunigung. Ihr Betrag heißt Zentripetalkraft:
F_\mathrm Z=ma_\mathrm Z=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r
Ihre Einheit ist Newton. Je nach Situation können Seilkraft, Haftreibung, Gewichtskraft oder Unterlagenkraft diese Rolle übernehmen. Wirken mehrere Kräfte, addierst du ihre Vektoren unter Beachtung der Richtungen.
Definition
Zentripetalkraft
Die Zentripetalkraft ist keine zusätzliche eigene Kraftart. Sie bezeichnet die zum Mittelpunkt gerichtete resultierende Kraft, also die vektorielle Summe der tatsächlich wirkenden Kräfte.
Beispiel
- 1Der Sitz des Modellkarussells und seine Last haben zusammen m=0{,}50\,\mathrm{kg}. Mit dem ungerundeten Wert a_\mathrm Z=\pi^2/2\,\mathrm{m/s^2} folgt:
- 2F_\mathrm Z=0{,}50\,\mathrm{kg}\cdot\frac{\pi^2}{2}\,\mathrm{m/s^2}
- 3F_\mathrm Z=\frac{\pi^2}{4}\,\mathrm N\approx2{,}47\,\mathrm N
- 4Die resultierende Kraft zeigt zum Mittelpunkt. Welche reale Kraft sie liefert, hängt vom Aufbau ab.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Kreisbewegung
Beschreibung
konstanter Radius; konstanter Geschwindigkeitsbetrag; ständig wechselnde Richtung
Zeit und Winkel
f=1/T; \omega=2\pi/T
Bewegung
s=r\varphi; v=2\pi r/T=\omega r
Wirkung zum Mittelpunkt
a_\mathrm{Z}=v^2/r=\omega^2r; F_\mathrm{Z}=ma_\mathrm{Z}; resultierende reale Kräfte
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Zentripetalkraft eines Modellfahrzeugs
- 1Ein Modellfahrzeug der Masse m=3\,\mathrm{kg} fährt mit v=6\,\mathrm{m/s} auf einer Kreisbahn vom Radius r=9\,\mathrm m.
- 2Bestimme zuerst die Zentripetalbeschleunigung:
- 3a_\mathrm Z=\frac{(6\,\mathrm{m/s})^2}{9\,\mathrm m}
- 4a_\mathrm Z=4\,\mathrm{m/s^2}
- 5Damit ergibt sich für den Betrag der resultierenden Kraft:
- 6F_\mathrm Z=3\,\mathrm{kg}\cdot4\,\mathrm{m/s^2}=12\,\mathrm N
- 7Diese Kraft muss zum Kreismittelpunkt zeigen.
Fehler finden
Wo fehlt das Geschwindigkeitsquadrat? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die dritte Zeile vergisst das Quadrat und erhält sogar die falsche Einheit. Richtig ist a_\mathrm Z=(5\,\mathrm{m/s})^2/(10\,\mathrm m)=2{,}5\,\mathrm{m/s^2}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für die Formel s=r\varphi wird der Winkel im eingesetzt. Wenn die Umlaufdauer größer wird, wird die Frequenz . Ein vollständiger Umlauf entspricht im Bogenmaß .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback