Physik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Elektromagnetische Schwingungen im LC-Kreis
Im LC-Kreis wandert Energie zwischen Kondensator und Spule. Du verfolgst die Phasenlage und berechnest die Schwingungsdauer.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine elektromagnetische Schwingung ist die periodische Änderung elektrischer und magnetischer Größen. Im idealen LC-Kreis tauschen Kondensator und Spule Feldenergie aus; Ladung und Stromstärke sind um eine Viertelperiode verschoben. Die Thomson-Formel liefert T=2\pi\sqrt{LC}.
Bei einer elektromagnetischen Schwingung ändern sich elektrische und magnetische Größen periodisch. Im idealen LC-Schwingkreis tauschen ein geladener Kondensator und eine Spule ihre Feldenergie fortlaufend aus. Du lernst, den Ablauf zu erklären, Ladung und Stromstärke zeitlich einzuordnen, die Schwingungsdauer zu berechnen und ideale, gedämpfte sowie angeregte Schwingungen zu unterscheiden.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein LC-Kreis besteht aus einem Kondensator mit Kapazität C und einer Spule mit Induktivität L. Zuerst lädt eine Quelle den Kondensator auf U_0. Nach dem Trennen der Quelle werden beide Bauteile zu einem geschlossenen Kreis verbunden.
Im idealen Fall ohne Widerstand sitzt anfangs die gesamte Feldenergie im elektrischen Feld des Kondensators; es fließt kein Strom. Beim Entladen wächst der Strom und damit das Magnetfeld der Spule. Nach einer Viertelperiode ist der Kondensator entladen, während Strombetrag und magnetische Feldenergie maximal sind.
Das abnehmende Magnetfeld hält den Strom zunächst in derselben Richtung aufrecht. Der Kondensator lädt sich mit umgekehrter Polung auf. Nach einer halben Periode ist seine elektrische Feldenergie wieder maximal. In der zweiten Halbperiode läuft der Vorgang mit umgekehrter Stromrichtung weiter. Erst nach einer ganzen Periode kehrt der Anfangszustand zurück.
In realen Bauteilen wandelt der Widerstand einen Teil der Feldenergie in Wärme um.
Definition
Elektromagnetische Schwingung
Eine elektromagnetische Schwingung ist eine periodische Änderung elektrischer und magnetischer Größen beziehungsweise Felder. Periodisch bedeutet: Nach derselben Zeitspanne wiederholt sich der Zustand.
Merke: Der Kondensator speichert Energie im elektrischen Feld, die Spule im magnetischen Feld. Erst ihr Zusammenspiel ermöglicht die fortlaufende Schwingung.
Beispiel
- 1Startet der Kondensator mit einer positiven oberen Platte, ist er nach einer halben Periode wieder vollständig geladen.
- 2Nun ist jedoch die obere Platte negativ.
- 3Erst nach einer ganzen Periode stimmen Ladung, Polung und Stromrichtung wieder mit dem Anfangszustand überein.
Teste dich
Für die Anfangsbedingungen Q(0)=Q_0 und I(0)=0 verläuft die Kondensatorspannung im idealen LC-Kreis harmonisch:
U_C(t)=|U_0|\cos(\omega_0 t)
Die Kreisfrequenz ist:
\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}
Weil Q=C\,U_C gilt, verlaufen Ladung und Kondensatorspannung gleichphasig. Wähle die positive Stromrichtung so, dass I=\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt} gilt. Aus Q(t)=Q_0\cos(\omega_0t) folgt:
I(t)=-\omega_0Q_0\sin(\omega_0t)
Ladung und Stromstärke sind um eine Viertelperiode verschoben. Bei t=0 gilt Q=Q_0 und I=0; bei t=T/4 gilt Q=0 und der Strombetrag ist maximal. Bei t=T/2 ist die Ladung negativ maximal und I=0. Nach t=T ist der Anfangszustand erreicht.
Merke: Große Ladung bedeutet nicht große Stromstärke. Der Strom ist dann am größten, wenn sich die Ladung am schnellsten ändert – beim Durchgang durch Q=0.
Teste dich
Die Schwingungsdauer T ist die Zeit für einen vollständigen Zyklus. Für den idealen, ungedämpften LC-Kreis gilt die Thomson-Formel:
T=2\pi\sqrt{LC}
Die Frequenz f zählt die vollständigen Zyklen pro Sekunde:
f=\frac{1}{T}
Die Einheit der Dauer ist die Sekunde; die Frequenz hat die Einheit Hertz. Wird L oder C bei sonst gleichen Bedingungen größer, wächst T. Wegen der Quadratwurzel verlängert eine Verdopplung von L die Dauer um den Faktor \sqrt 2, nicht um zwei.
Beispiel: Thomson-Formel mit Induktivität und Kapazität
- 1Gegeben sind L=1{,}00\,\mathrm H und C=100{,}0\,\mu\mathrm F. Zuerst wird die Kapazität umgerechnet:
- 2100{,}0\,\mu\mathrm F=100{,}0\cdot10^{-6}\,\mathrm F
- 3C=0{,}0001000\,\mathrm F
- 4Dann werden die Werte eingesetzt:
- 5T=2\pi\sqrt{1{,}00\,\mathrm H\cdot0{,}0001000\,\mathrm F}
- 6T=2\pi\cdot0{,}0100\,\mathrm s
- 7T\approx0{,}0628\,\mathrm s
- 8Mit dem ungerundeten Wert von T folgt:
- 9f=\frac1T\approx15{,}9\,\mathrm{Hz}
- 10Der Schwingkreis führt also ungefähr 15,9 vollständige Schwingungen pro Sekunde aus.
Teste dich
Ein realer Kreis hat Widerstand R. Dadurch sinkt seine Feldenergie und die Ausschläge von Ladung, Spannung und Stromstärke werden kleiner: Er schwingt gedämpft. Für einen ungetriebenen RLC-Kreis gilt bei der gewählten Stromrichtung:
L\ddot Q+R\dot Q+\frac{Q}{C}=0
\dot Q ist die zeitliche Änderung der Ladung, \ddot Q deren zweite Ableitung. Bei einer äußeren zeitabhängigen Spannung U(t) lautet die Gleichung:
U(t)=L\ddot Q+R\dot Q+\frac{Q}{C}
Die Quelle kann dem Kreis fortlaufend Energie zuführen und ihn anregen. Das unterscheidet diesen Fall von der freien Eigenschwingung nach einmaligem Laden. Eine passende Anregungsfrequenz kann Resonanz auslösen.
Eine Wechselstromversorgung legt eine äußere veränderliche Spannung an. Eine elektromagnetische Welle liegt erst vor, wenn sich die Schwingung im Raum ausbreitet; der LC-Kreis beschreibt zunächst einen lokalen Vorgang.
Definition
Resonanz
Resonanz bezeichnet eine besonders starke Reaktion eines angeregten Schwingkreises, wenn die äußere Anregung passend zur Eigenfrequenz des Kreises erfolgt.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Elektromagnetische Schwingungen
LC-Kreis
Kondensator und Spule tauschen Feldenergie aus
Phasenlage
Ladung und Strombetrag erreichen ihre Maxima versetzt
Thomson-Formel
Die ideale Schwingungsdauer hängt von Induktivität und Kapazität ab
Dämpfung
Widerstand verkleinert ohne Zufuhr die Ausschläge
Anregung und Welle
Äußere Spannung liefert Energie; eine Welle breitet sich räumlich aus
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Schwingungsdauer eines Modellkreises
- 1Gegeben sind L=0{,}25\,\mathrm H und C=100\,\mu\mathrm F=100\cdot10^{-6}\,\mathrm F. Gesucht sind T und f im idealen Kreis.
- 2Die Thomson-Formel lautet T=2\pi\sqrt{LC}.
- 3T=2\pi\sqrt{0{,}25\,\mathrm H\cdot100\cdot10^{-6}\,\mathrm F}
- 4T=2\pi\cdot0{,}005\,\mathrm s
- 5T\approx0{,}031\,\mathrm s
- 6Mit dem ungerundeten Wert folgt:
- 7f=\frac1{2\pi\cdot0{,}005\,\mathrm s}
- 8f\approx32\,\mathrm{Hz}
- 9Aus den zwei gültigen Ziffern der Induktivität ergeben sich gerundet T\approx0{,}031\,\mathrm s und f\approx32\,\mathrm{Hz}.
Fehler finden
Polung nach einer halben Periode In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Nach T/2=0{,}04\,\mathrm s ist die obere Platte negativ geladen. Erst nach 0{,}08\,\mathrm s ist die Anfangspolung wieder da.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Im idealen LC-Kreis speichert der geladene Kondensator Energie im Feld. Nach einer Viertelperiode ist die Ladung und der Strombetrag maximal. Ein Widerstand macht die Schwingung .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback