Physik · Klasse 10–12 · aktualisiert
Drehbewegung: Größen, Kräfte und Drehimpuls
Beschreibe eine Drehung mit Winkel und Zeit und erkläre Drehmoment, Trägheitsmoment und Drehimpuls.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Bei einer Drehbewegung laufen Punkte eines Körpers um eine Achse. Ihre Winkelgeschwindigkeit kann gleich sein, während ihre Bahngeschwindigkeit mit dem Achsabstand wächst. Das Drehmoment ändert den Drehimpuls; ohne äußeres Gesamtdrehmoment bleibt dieser erhalten.
Bei einer Drehbewegung bewegen sich Punkte eines Körpers um eine Drehachse. Mit Drehwinkel, Umlaufdauer und Winkelgeschwindigkeit beschreibst du die Bewegung; Drehmoment, Trägheitsmoment und Drehimpuls erklären ihre Änderung.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Bei einem Punkt am Rand eines Riesenrads bleibt der Abstand r von der Drehachse gleich. Der Radius überstreicht den Drehwinkel \varphi. Wenn der Winkel im Bogenmaß eingesetzt wird, gilt für den Kreisbogen:
s=r\varphi
Die Umlaufdauer T ist die Zeit einer Umdrehung in Sekunden. Die Frequenz f zählt Umdrehungen pro Sekunde in Hertz; 1\,\mathrm{Hz}=1/\mathrm s. Beide Größen sind Kehrwerte:
f=\frac{1}{T}
Die Winkelgeschwindigkeit \omega gibt die Winkeländerung pro Zeit in Radiant pro Sekunde an. Bei gleichförmiger Drehung gilt:
\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f
Definition
Bogenmaß
Das Bogenmaß beschreibt einen Winkel über das Verhältnis von Kreisbogen s und Radius r. Eine vollständige Umdrehung entspricht 360^\circ=2\pi\,\mathrm{rad}.
Beispiel: Vier Umdrehungen in sechs Sekunden
- 1Ein Modellrad vollführt vier Umdrehungen in 6\,\mathrm s.
- 2Die Umlaufdauer ist T=(6\,\mathrm s)/4=1{,}5\,\mathrm s.
- 3Die Frequenz ist f=1/(1{,}5\,\mathrm s)=2/3\,\mathrm{Hz}.
- 4Gerundet sind das f\approx0{,}67\,\mathrm{Hz}, also etwa 0{,}67 Umdrehungen pro Sekunde.
Teste dich
Ein Punkt weiter außen legt beim gleichen Drehwinkel einen längeren Weg zurück. Punkte eines starren Körpers besitzen dieselbe Winkelgeschwindigkeit, aber bei unterschiedlichem Achsabstand unterschiedliche Bahngeschwindigkeiten.
v=r\omega=\frac{2\pi r}{T}
Die Geschwindigkeit zeigt tangential zur Bahn und senkrecht zum Radius. Bei gleichförmiger Drehung haben zwei Menschen auf verschiedenen Kreisbahnen nur dann denselben Betrag der Winkelgeschwindigkeit, wenn sie für eine Runde gleich lange brauchen. Drehen sie sich in entgegengesetzte Richtungen, sind ihre Winkelgeschwindigkeiten verschieden.
Beispiel
- 1Janine läuft auf einem Kreis mit r=57\,\mathrm m. Jan läuft 3\,\mathrm m weiter außen, also bei r=60\,\mathrm m.
- 2Die Rundenlänge von Janine beträgt s=2\pi\cdot57\,\mathrm m\approx358\,\mathrm m.
- 3Die Rundenlänge von Jan beträgt s=2\pi\cdot60\,\mathrm m\approx377\,\mathrm m.
- 4Der Unterschied folgt allein aus dem zusätzlichen Radius:
- 5\Delta s=2\pi\cdot3\,\mathrm m\approx18{,}85\,\mathrm m
- 6Jan läuft je Runde also ungefähr 19\,\mathrm m weiter. Über ihre Bahngeschwindigkeiten entscheidet zusätzlich ihre jeweilige Umlaufdauer.
Merke: Gleiche Winkelgeschwindigkeit bedeutet nicht gleiche Bahngeschwindigkeit: Bei größerem Radius ist v=r\omega größer.
Teste dich
Bei gleichförmiger Kreisbewegung bleibt der Betrag der Bahngeschwindigkeit konstant, während sich ihre Richtung ändert. Deshalb zeigt die Zentripetalbeschleunigung a_\mathrm{ZP} zum Mittelpunkt; ihre Einheit ist \mathrm{m/s^2}. Eine Beschleunigung entlang der Bahn tritt dabei nicht auf.
a_\mathrm{ZP}=\frac{v^2}{r}=r\omega^2
Die zum Zentrum gerichtete resultierende Zentripetalkraft F_\mathrm{ZP} hat die Einheit Newton und den Betrag:
F_\mathrm{ZP}=ma_\mathrm{ZP}=m\frac{v^2}{r}
Gleichwertig ist F_\mathrm{ZP}=mr\omega^2. Zentripetalkraft ist keine zusätzliche Kraftart. Je nach Aufbau können Seilkraft, Haftreibung oder Gewichtskraft die Resultierende bilden.
Ein Massepunkt besitzt keine Ausdehnung und keine Orientierung. Für einen ausgedehnten Körper nutzt man das Modell des starren Körpers: Form und Abstände seiner Teile bleiben näherungsweise konstant. Seine Bewegung lässt sich in eine Verschiebung und eine Drehung zerlegen. Die Tabelle ordnet dazu passende Größen. Kraft und Drehmoment sind verschieden: Eine Kraft kann den Bewegungszustand ändern, ein Drehmoment die Drehbewegung.
| Lineare Bewegung | Drehbewegung |
|---|---|
| Weg | Drehwinkel |
| Geschwindigkeit | Winkelgeschwindigkeit |
| Beschleunigung | Winkelbeschleunigung |
| Masse | Trägheitsmoment |
| Kraft | Drehmoment |
| Impuls | Drehimpuls |
| kinetische Energie | Rotationsenergie |
Teste dich
Das Trägheitsmoment I beschreibt den Widerstand gegen eine Änderung der Drehbewegung. Es hängt von der Masse, ihrer Verteilung und der gewählten Drehachse ab. Für einen einzelnen Massepunkt gilt I=mr^2: m ist seine Masse und r sein Abstand von der Achse. Bei mehreren Massepunkten addierst du die Beiträge. Für zwei lautet das zum Beispiel:
I=m_1r_1^2+m_2r_2^2
Die Einheit von I ist \mathrm{kg\,m^2}. Ein Drehmoment entsteht durch eine Kraft mit wirksamem Abstand zur Achse. Für den Anteil der Kraft, der quer zum Radius in der Drehebene wirkt, gilt:
T_\mathrm D=rF_\mathrm{tangential}
Seine Einheit ist \mathrm{N\,m}. Geht die Wirkungslinie der Kraft durch die Achse, ist das Drehmoment um diese Achse null.
Bei einer Drehung um eine feste Achse besitzt ein starrer Körper Rotationsenergie E_\mathrm{rot}=I\omega^2/2. Der Drehimpuls beschreibt, wie viel Drehbewegung ein Körper besitzt. Für die Drehung um eine feste Symmetrieachse gilt L=I\omega. Ein äußeres Gesamtdrehmoment um diese Achse ändert den Drehimpuls. Ohne äußeres Gesamtdrehmoment um die Achse bleibt er erhalten.
Beispiel: Massepunkt in zwei Achsabständen
- 1I_1=mr^2
- 2I_2=m(2r)^2=4mr^2
- 3Durch den doppelten Abstand wird das Trägheitsmoment viermal so groß. Bei gleichem Drehmoment lässt sich die zweite Anordnung deshalb weniger stark in ihrer Winkelgeschwindigkeit ändern.
Beispiel
- 1Eine Person dreht sich auf einem Drehstuhl und zieht Massen näher an die Achse.
- 2Dadurch sinkt ihr Trägheitsmoment I.
- 3Weil ohne äußeres Gesamtdrehmoment L=I\omega konstant bleibt, muss \omega steigen: Die Person dreht sich schneller.
Merke: Eine Kraft kann Bewegung ändern; ihr Drehmoment um eine Achse kann die Drehung ändern. Ohne äußeres Gesamtdrehmoment um die Achse bleibt der Drehimpuls erhalten.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Drehbewegung
Beschreiben
Drehwinkel, Umlaufdauer, Frequenz und Winkelgeschwindigkeit; Bahngeschwindigkeit v=r\omega
Kreisbahn erklären
Zentripetalbeschleunigung zeigt zum Zentrum; Resultierende Zentripetalkraft hält den Körper auf der Bahn
Starre Körper untersuchen
Trägheitsmoment hängt von Masse, Verteilung und Achse ab; Drehmoment verändert den Drehimpuls
Erhaltung nutzen
Ohne äußeres Gesamtdrehmoment bleibt der Drehimpuls konstant
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Drehmoment an einer Tür
- 1Eine Kraft von F_\mathrm{tangential}=12\,\mathrm N greift senkrecht im Abstand r=0{,}25\,\mathrm m vom Türscharnier an.
- 2Für den Betrag des Drehmoments um das Scharnier gilt T_\mathrm D=rF_\mathrm{tangential}.
- 3T_\mathrm D=0{,}25\,\mathrm m\cdot12\,\mathrm N
- 4T_\mathrm D=3\,\mathrm{N\,m}
- 5Bei gleicher Kraft wird das Drehmoment mit größerem wirksamem Abstand größer.
Fehler finden
Wo fehlt das Quadrat des Achsabstands? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die dritte Zeile lässt das Quadrat des Achsabstands weg; auch die Einheit verrät den Fehler. Richtig ist I=2\,\mathrm{kg}\cdot(0{,}30\,\mathrm m)^2=0{,}18\,\mathrm{kg\,m^2}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei einem starren rotierenden Körper ist die aller Punkte gleich. Das Trägheitsmoment hängt auch vom der Masse ab. Ohne äußeres Gesamtdrehmoment bleibt der erhalten.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback