Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Zylinder: Aufbau, Volumen und Oberfläche
Ein Zylinder hat zwei gleich große Kreisflächen und einen Mantel. Du lernst, Mantelfläche, Oberfläche und Volumen zu berechnen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein gerader Kreiszylinder ist ein Körper aus zwei gleich großen, parallelen Kreisflächen und einem gekrümmten Mantel. Mit Radius r und Höhe h gilt für das Volumen V=\pi r^2h, für die Mantelfläche M=2\pi rh und für die Oberfläche O=2\pi r^2+2\pi rh.
Ein Zylinder besitzt zwei gleich große, parallele Kreisflächen und einen Mantel. Beim geraden Kreiszylinder berechnest du das Volumen mit V=\pi r^2h und die Oberfläche mit O=2\pi r^2+2\pi rh. Auf dieser Seite lernst du, die Bestandteile und Maße eines Zylinders zu erkennen, die Formeln zu verstehen und sicher anzuwenden.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Dosen, Gläser oder gerade Rohre sind oft annähernd zylinderförmig. Im Unterricht ist mit einem Zylinder meist ein gerader Kreiszylinder gemeint. Er besteht aus der kreisförmigen Grundfläche, der gleich großen Deckfläche und der gekrümmten Mantelfläche zwischen beiden Kreisen. Die Höhe h ist der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckfläche. Der Radius r reicht vom Mittelpunkt eines Kreises bis zu seinem Rand. Für den Durchmesser d gilt d=2r. Die Zylinderachse ist die Gerade durch die Mittelpunkte von Grund- und Deckfläche.
Definition
Gerader Kreiszylinder
Ein gerader Kreiszylinder wird von zwei gleich großen, parallelen Kreisflächen und einer Mantelfläche begrenzt. Seine Achse steht senkrecht auf Grund- und Deckfläche.
Merke: Prüfe vor jeder Rechnung, ob ein Radius oder ein Durchmesser gegeben ist. Bei gegebenem Durchmesser rechnest du zuerst r=d:2.
Teste dich
Schneidest du den Mantel eines geraden Kreiszylinders entlang einer Mantellinie auf und rollst ihn ab, entsteht ein Rechteck. Eine Rechteckseite ist die Zylinderhöhe h. Die andere ist genauso lang wie der Umfang des Grundkreises: u=2\pi r=\pi d Deshalb gilt für die Mantelfläche M: M=u\cdot h=2\pi rh Die rechteckige Mantelabwicklung gilt hier für den geraden Kreiszylinder. Bei einem schiefen Kreiszylinder darfst du nicht einfach ein Parallelogramm als Mantelnetz annehmen.
Beispiel: Mantelfläche für r=4\,\mathrm{cm} und h=7\,\mathrm{cm}
- 1Umfang: u=2\pi\cdot4\,\mathrm{cm}=8\pi\,\mathrm{cm}
- 2Mantel: M=8\pi\,\mathrm{cm}\cdot7\,\mathrm{cm}=56\pi\,\mathrm{cm^2}\approx175{,}9\,\mathrm{cm^2}
- 3Eine Fläche, also die Einheit \mathrm{cm^2}
Teste dich
Das Volumen gibt an, wie viel Raum der Zylinder einnimmt. Seine kreisförmige Grundfläche wird über die gesamte Höhe fortgeführt. Für die Grundfläche gilt: G=\pi r^2 Mit dem Prinzip „Grundfläche mal Höhe“ erhältst du: V=G\cdot h=\pi r^2h
Beispiel: Volumen für r=4\,\mathrm{cm} und h=7\,\mathrm{cm}
- 1Grundfläche: G=\pi\cdot(4\,\mathrm{cm})^2=16\pi\,\mathrm{cm^2}
- 2Volumen: V=16\pi\,\mathrm{cm^2}\cdot7\,\mathrm{cm}=112\pi\,\mathrm{cm^3}\approx351{,}9\,\mathrm{cm^3}
- 3Einheit: \mathrm{cm^2}\cdot\mathrm{cm}=\mathrm{cm^3}
Merke: In der Volumenformel wird nur der Radius quadriert: V=\pi\cdot r^2\cdot h. Die Höhe wird nicht quadriert.
Teste dich
Zur Oberfläche eines geschlossenen Zylinders gehören Grundfläche, Deckfläche und Mantel. Grund- und Deckfläche sind gleich groß. Daher gilt zunächst: O=2G+M Setzt du G=\pi r^2 und M=2\pi rh ein, erhältst du: O=2\pi r^2+2\pi rh Gehe bei jeder Aufgabe gleich vor: Größen mit Einheiten notieren, Formel wählen, einsetzen, mit \pi rechnen und erst am Ende runden. Prüfe zum Schluss die Einheit.
Beispiel: Oberfläche für r=2\,\mathrm{cm} und h=5\,\mathrm{cm}
- 1Kreisflächen: 2G=2\pi\cdot(2\,\mathrm{cm})^2=8\pi\,\mathrm{cm^2}
- 2Mantel: M=2\pi\cdot2\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=20\pi\,\mathrm{cm^2}
- 3Oberfläche: O=8\pi\,\mathrm{cm^2}+20\pi\,\mathrm{cm^2}=28\pi\,\mathrm{cm^2}\approx88{,}0\,\mathrm{cm^2}
Merke: Beim Volumen rechnest du G\cdot h. Bei der Oberfläche addierst du 2G+M. Verwechsle Rauminhalt und Begrenzungsfläche nicht.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Zylinder
Maße
Radius r, Durchmesser d=2r, Höhe h
Kreisflächen
Grundfläche und Deckfläche mit G=\pi r^2
Mantel
abgewickeltes Rechteck mit M=2\pi rh
Oberfläche
O=2G+M
Volumen
V=G\cdot h
Einheiten
Fläche quadratisch, Volumen kubisch
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Mantelfläche, Oberfläche und Volumen für r=5\,\mathrm{cm} und h=10\,\mathrm{cm}
- 1Gegeben: r=5\,\mathrm{cm} und h=10\,\mathrm{cm}. Rechne mit \pi und runde erst am Ende.
- 2Mantel: M=2\pi\cdot5\,\mathrm{cm}\cdot10\,\mathrm{cm}=100\pi\,\mathrm{cm^2}\approx314{,}2\,\mathrm{cm^2}
- 3Oberfläche: O=2\pi\cdot(5\,\mathrm{cm})^2+100\pi\,\mathrm{cm^2}=50\pi\,\mathrm{cm^2}+100\pi\,\mathrm{cm^2}
- 4O=150\pi\,\mathrm{cm^2}\approx471{,}2\,\mathrm{cm^2}
- 5Volumen: V=\pi\cdot(5\,\mathrm{cm})^2\cdot10\,\mathrm{cm}=250\pi\,\mathrm{cm^3}\approx785{,}4\,\mathrm{cm^3}
- 6Einheiten: Flächen in \mathrm{cm^2}, das Volumen in \mathrm{cm^3}
Fehler finden
Oberfläche einer geschlossenen Dose mit r=3\,\mathrm{cm} und h=10\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Der Deckel fehlt: Eine geschlossene Dose hat zwei Kreisflächen. Richtig ist O=2G+M=18\pi\,\mathrm{cm^2}+60\pi\,\mathrm{cm^2}=78\pi\,\mathrm{cm^2}\approx245{,}0\,\mathrm{cm^2}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Der abgewickelte Mantel eines geraden Zylinders ist ein . Seine Länge ist der des Grundkreises. Für die Oberfläche eines geschlossenen Zylinders addierst du den Mantel und Kreisflächen.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback