Mathematik · Klasse 10 · aktualisiert
Exponentialfunktionen: Graphen und Gleichungen
Bei Exponentialfunktionen steht x im Exponenten. Du lernst, ihre Graphen zu lesen, Gleichungen zu lösen und Wachstum und Zerfall zu modellieren.
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Kurz gesagt
Eine Exponentialfunktion hat die Form f(x)=a\cdot b^x mit a\neq0, b>0 und b\neq1: Die Variable steht im Exponenten. Pro Schritt wird der Funktionswert mit demselben Faktor b multipliziert, und a=f(0) ist der Startwert. Für a>0 steigt der Graph bei b>1 und fällt bei 0<b<1.
Ein Guthaben wächst jedes Jahr um 2 %, ein Präparat verliert jedes Jahr 5 % seiner Masse. In beiden Fällen wird eine Größe in gleich großen Schritten immer mit demselben Faktor multipliziert. Genau das beschreiben Exponentialfunktionen: Bei ihnen steht die Variable im Exponenten. Hier lernst du, ihre Graphen zu untersuchen, Gleichungen zu lösen und Modelle aufzustellen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Vergleiche zwei Folgen: 100, 200, 300, 400 und 100, 200, 400, 800. In der ersten kommt jedes Mal derselbe Betrag hinzu. Das ist linear. In der zweiten wird jedes Mal mit 2 multipliziert. Das ist exponentiell. Die Bedingung b>0 sorgt dafür, dass b^x für jede reelle Zahl x einen reellen Wert hat. Die Basis 1 ist ausgeschlossen, weil 1^x=1 nur eine konstante Funktion ergibt. Für f(x)=a\cdot b^x ist der Definitionsbereich immer D=\mathbb R. Weil b^x stets positiv ist, bestimmt das Vorzeichen von a den Wertebereich: Für a>0 gilt W=(0,\infty), für a<0 gilt W=(-\infty,0). Der Graph schneidet die x-Achse nicht, die Gerade y=0 ist eine waagrechte Asymptote. Die Monotonie hängt von Basis und Vorzeichen des Vorfaktors ab.
Definition
Exponentialfunktion
Eine reelle Exponentialfunktion in Grundform lautet f(x)=a\cdot b^x mit a\neq0, b>0 und b\neq1. Der Vorfaktor a ist f(0), weil b^0=1. Die Basis b ist der Faktor pro Schritt.
Beispiel: Wertetabelle von f(x)=3\cdot2^x
- 1a=3 und b=2, also f(0)=3
- 2f(-2)=\frac{3}{4}, f(-1)=\frac{3}{2}, f(0)=3, f(1)=6, f(2)=12
- 3Jeder Wert ist doppelt so groß wie der vorige: konstanter Quotient 2.
| Vorfaktor | Basis | Graph |
|---|---|---|
| a>0 | b>1 | streng steigend |
| a>0 | 0<b<1 | streng fallend |
| a<0 | b>1 | streng fallend |
| a<0 | 0<b<1 | streng steigend |
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Eine nützliche erweiterte Form ist f(x)=a\cdot b^{x+c}+d Du liest die Veränderungen von innen nach außen. Erstens verschiebt x+c den Graphen waagrecht: bei c>0 nach links, bei c<0 nach rechts. Zweitens streckt oder staucht a die Funktionswerte, bei a<0 kommt die Spiegelung an der x-Achse hinzu. Drittens verschiebt d den Graphen nach oben oder unten. Die waagrechte Asymptote ist dann y=d. Der Definitionsbereich bleibt \mathbb R. Bei a>0 gilt W=(d,\infty), bei a<0 gilt W=(-\infty,d).
Merke: Bestimme zuerst, ob b^x steigt oder fällt. Ein negativer Vorfaktor spiegelt alle Werte an der x-Achse und kehrt die Monotonie um. So ist g(x)=-2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^x streng steigend mit W=(-\infty,0).
Beispiel: f(x)=2^{x+3}-4 untersuchen
- 1x + 3: um 3 nach links verschoben
- 2− 4: um 4 nach unten verschoben
- 3Asymptote: y=-4
- 4y-Achsenabschnitt: f(0)=2^3-4=4
- 5Nullstelle: 2^{x+3}=4=2^2, also x+3=2 und x=-1
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Bei einer Exponentialgleichung steht die gesuchte Variable im Exponenten. Isoliere zuerst die Potenz. Danach gibt es zwei Wege. Lässt sich die rechte Seite als Potenz derselben Basis schreiben, vergleichst du die Exponenten. Sonst hilft der Logarithmus: Für a\cdot b^x=y gilt, sofern \frac{y}{a}>0 ist: x=\log_b\left(\frac{y}{a}\right)=\frac{\ln\left(\frac{y}{a}\right)}{\ln(b)} Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert. Prüfe deshalb nach dem Isolieren, ob die rechte Seite positiv ist. Eine Gleichung wie 2^x=-3 hat keine reelle Lösung, weil 2^x immer positiv ist.
Beispiel: Gleiche Basis: 5\cdot2^x=80
- 15\cdot2^x=80
- 22^x=16
- 32^x=2^4, also x=4
- 4Probe: 5\cdot2^4=5\cdot16=80
Beispiel: Mit Logarithmus: Ein Bestand von 500 verdoppelt sich pro Stunde. Wann sind es 50.000?
- 1500\cdot2^t=50\,000
- 22^t=100
- 3t=\frac{\ln(100)}{\ln(2)}\approx6{,}644
- 4Nach etwa 6 Stunden und 39 Minuten ist der Bestand 50.000.
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In einem Sachmodell steht a für den Anfangswert und b für den Faktor pro Zeitschritt. Aus einer prozentualen Änderung p erhältst du: Bei einer Zunahme um p ist b=1+p, bei einer Abnahme um p ist b=1-p. Den Prozentsatz setzt du als Dezimalzahl ein, zum Beispiel 5 % = 0,05. Das Modell setzt voraus, dass der Faktor in jedem Zeitschritt gleich bleibt.
Beispiel: Ein Präparat hat anfangs 25 g und verliert pro Jahr 5 % seiner Masse.
- 1Abnahmefaktor: b=1-0{,}05=0{,}95
- 2Modell mit t in Jahren: m(t)=25\cdot0{,}95^t
- 3Nach 9 Jahren: m(9)=25\cdot0{,}95^9\approx15{,}76
- 4Etwa 15,76 g: kleiner als 25 g, aber positiv. Das ist plausibel.
Merke: Prozentuale Änderung heißt multiplizieren: Zunahme um p ergibt den Faktor 1 + p, Abnahme um p den Faktor 1 − p.
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Alles auf einen Blick
Exponentialfunktionen
Grundform
f(x)=a\cdot b^x mit b>0 und b\neq1
Anfangswert
f(0)=a, die Basis b ist der Faktor pro Schritt
Graph
D=\mathbb R, ohne Verschiebung Asymptote y=0
Monotonie
Basis prüfen, ein negatives a kehrt sie um
Gleichungen
Potenz isolieren, dann Potenzvergleich oder Logarithmus
Modelle
Zunahme um p ergibt b=1+p, Abnahme b=1-p
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Untersuche f(x)=2\cdot3^{x-1}+1
- 1a=2>0 und b=3>1: Der Graph steigt streng.
- 2Asymptote: y=1, also W=(1,\infty)
- 3y-Achsenabschnitt: f(0)=2\cdot3^{-1}+1=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}
- 4Keine Nullstelle, denn alle Funktionswerte liegen über 1.
Fehler finden
Löse 3\cdot2^x=96 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 23\cdot2^x ist nicht 6^x, denn die Potenz wird zuerst berechnet. Teile durch 3: 2^x=32=2^5, also x=5.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei f(x)=a\cdot b^x steht die Variable im . Für a>0 und b>1 ist der Graph streng . Die Gerade y=0 ist eine waagrechte .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback