Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Volumen einer Pyramide berechnen: Formel & Beispiele
Eine Pyramide hat ein Drittel des Volumens eines passenden Prismas. Du lernst Grundfläche und Höhe kennen und rechnest vorwärts und rückwärts.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Das Volumen einer Pyramide ist ein Drittel von Grundfläche mal senkrechter Höhe: V=\frac13\cdot G\cdot h. Bei einer quadratischen Pyramide mit a=8\,\text{m} und h=6\,\text{m} ist G=64\,\text{m}^2 und V=128\,\text{m}^3. Die Höhe ist immer der senkrechte Abstand der Spitze zur Grundfläche.
Das Volumen einer Pyramide berechnest du mit einem Drittel aus Grundfläche mal senkrechter Höhe: V=\frac13\cdot G\cdot h Dabei ist G der Flächeninhalt der Grundfläche und h der senkrechte Abstand zwischen Grundfläche und Spitze.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Pyramide besitzt ein Vieleck als Grundfläche. Das kann zum Beispiel ein Dreieck, ein Quadrat oder ein Parallelogramm sein. Die seitlichen Dreiecke laufen in einer Spitze zusammen. Die Spitze muss nicht über der Mitte der Grundfläche liegen. Auch bei einer schiefen Pyramide verwendest du den senkrechten Abstand als Höhe.
Definition
Grundfläche G
G bezeichnet den Flächeninhalt des unteren Vielecks. Bei einem Quadrat mit Seitenlänge a gilt zum Beispiel G=a^2. G ist eine Fläche und wird daher in Quadrateinheiten wie \text{cm}^2 angegeben.
Definition
Pyramidenhöhe h
Die Pyramidenhöhe h ist der senkrechte Abstand der Spitze von der Grundfläche. Sie ist weder eine schräge Seitenkante noch die Höhe eines seitlichen Dreiecks.
Merke: Für die Volumenformel brauchst du den Flächeninhalt G und die senkrechte Pyramidenhöhe h.
Teste dich
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor: Erkenne die Form der Grundfläche. Berechne ihren Flächeninhalt G. Prüfe, welche Strecke die senkrechte Höhe h ist. Setze G und h in V=\frac13Gh ein. Gib das Ergebnis in einer Kubikeinheit an. Warum steht in der Formel der Faktor \frac13? Eine Pyramide besitzt ein Drittel des Volumens eines Prismas mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe. Da für das Prisma V=Gh gilt, folgt für die Pyramide V=\frac13Gh.
Beispiel: Pyramide mit G=24\,\text{cm}^2 und h=10\,\text{cm}
- 1Einsetzen: V=\frac13\cdot24\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}
- 2V=80\,\text{cm}^3
- 3Einheit: \text{cm}^2\cdot\text{cm}=\text{cm}^3
Teste dich
Die Pyramidenformel bleibt gleich. Nur die Berechnung von G hängt von der Form der Grundfläche ab. Die Bezeichnung h_G hilft bei der Unterscheidung: Sie gehört zur Grundfläche. Die Pyramidenhöhe h führt dagegen senkrecht von der Grundfläche zur Spitze.
| Form der Grundfläche | Flächeninhalt G |
|---|---|
| Quadrat mit Seite a | G=a^2 |
| Rechteck mit Seiten a und b | G=a\cdot b |
| Dreieck mit Grundseite g und Dreieckshöhe h_G | G=\frac12g h_G |
| Parallelogramm mit Grundseite g und zugehöriger Höhe h_G | G=g h_G |
Beispiel: Quadratische Pyramide mit a=8\,\text{m} und h=6\,\text{m}
- 1G=a^2=8\,\text{m}\cdot8\,\text{m}=64\,\text{m}^2
- 2V=\frac13\cdot64\,\text{m}^2\cdot6\,\text{m}=128\,\text{m}^3
Teste dich
Grundseite statt Grundfläche: In die Volumenformel gehört nicht nur eine Seitenlänge. Berechne zuerst den Flächeninhalt G. Schräge Strecke statt Höhe: Verwende ausschließlich den senkrechten Abstand zwischen Spitze und Grundfläche. Faktor \frac13 vergessen: Ohne diesen Faktor berechnest du das Volumen eines passenden Prismas, nicht das der Pyramide. Falsche Einheit: G hat eine Quadrateinheit, das Volumen V eine Kubikeinheit. Bei Aufgaben kann auch eine andere Größe gesucht sein. Aus V=\frac13Gh folgt nach Multiplikation mit 3 beispielsweise 3V=Gh. Ist die Höhe bekannt, erhältst du die Grundfläche mit G=\frac{3V}{h}.
Beispiel: Grundfläche aus V=54\,\text{cm}^3 und h=9\,\text{cm}
- 1Mal 3: 3V=Gh, also G=\frac{3V}{h}
- 2G=\frac{3\cdot54\,\text{cm}^3}{9\,\text{cm}}=18\,\text{cm}^2
- 3Einheit: Eine Grundfläche hat \text{cm}^2.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Volumen Pyramide
Formel
V=\frac13Gh
Grundfläche
passende Flächenformel wählen
Höhe
senkrechten Abstand der Spitze verwenden
Rechenweg
G berechnen, einsetzen, Ergebnis prüfen
Einheit
Volumen immer in einer Kubikeinheit
Vergleich
ein Drittel des passenden Prismenvolumens
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ein Dach ist eine Pyramide mit rechteckiger Grundfläche, 12\,\text{m} lang, 8\,\text{m} breit und 5\,\text{m} hoch. Wie viel Raum ist darunter?
- 1Grundfläche (Rechteck): G=12\,\text{m}\cdot8\,\text{m}=96\,\text{m}^2
- 2Höhe: senkrecht von der Spitze, h=5\,\text{m}
- 3V=\frac13\cdot96\,\text{m}^2\cdot5\,\text{m}=160\,\text{m}^3
- 4Unter dem Dach sind 160\,\text{m}^3 Raum.
Fehler finden
Quadratische Pyramide mit a=12\,\text{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Eingesetzt wurde die Seitenhöhe h_s. In die Formel gehört die senkrechte Höhe h=8\,\text{cm}: V=\frac13\cdot144\,\text{cm}^2\cdot8\,\text{cm}=384\,\text{cm}^3.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für das Volumen einer Pyramide multiplizierst du den der Grundfläche mit der Höhe und anschließend mit . Das Ergebnis erhält eine Kubikeinheit.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback