Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Wurzelfunktion: Graph, Bereiche und Umkehrung
Die Wurzelfunktion macht das Quadrieren rückgängig. Du lernst Definitions- und Wertebereich, Grundgraphen, Verschiebungen und die Umkehrung kennen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Wurzelfunktion ordnet jeder erlaubten Zahl ihre Wurzel zu, zum Beispiel f(x)=\sqrt{x}. Bei der Quadratwurzel sind nur x\ge 0 erlaubt, der Graph startet in (0|0) und steigt immer flacher an. Bei f(x)=a\sqrt{x+b}+c liegt der Startpunkt bei (-b|c).
Eine Wurzelfunktion ordnet einer Zahl die passende Wurzel zu. Die Quadratwurzelfunktion f(x)=\sqrt{x} macht das Quadrieren auf dem nichtnegativen Zahlenbereich rückgängig. Ihr Graph beginnt bei (0|0) und steigt danach immer weiter an. Auf dieser Seite lernst du, gerade und ungerade Wurzeln zu unterscheiden, ihre Graphen zu erkennen und Transformationen sowie Umkehrfunktionen zu bestimmen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Die Wurzelfunktion sucht die Zahl, deren passende Potenz den Radikanden ergibt. Der Radikand ist der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen. Ob der Wurzelexponent gerade oder ungerade ist, entscheidet darüber, welche Eingaben erlaubt sind. Gerade Wurzelexponenten: Bei f(x)=\sqrt[n]{x} mit geradem n darf der Radikand im Bereich der reellen Zahlen nicht negativ sein. Auch die Funktionswerte sind nichtnegativ. D=[0,\infty), \qquad W=[0,\infty) Dabei steht D für den Definitionsbereich, also alle erlaubten Eingaben. W ist der Wertebereich, also die Menge aller möglichen Ausgaben. Ungerade Wurzelexponenten: Bei ungeradem n sind auch negative Radikanden erlaubt. Zum Beispiel gilt \sqrt[3]{-8}=-2, weil (-2)^3=-8. D=\mathbb{R}, \qquad W=\mathbb{R}
Definition
Wurzelfunktion
Eine einfache n-te Wurzelfunktion hat die Form f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{1/n}. Die natürliche Zahl n\ge 2 heißt Wurzelexponent. Für n=2 schreibt man meist nur \sqrt{x}.
Beispiel: Werte von f(x)=\sqrt{x}
- 1f(0)=0, denn 0^2=0.
- 2f(1)=1, denn 1^2=1.
- 3f(64)=8, denn 8^2=64.
- 4Der Funktionswert ist immer die nichtnegative Hauptwurzel.
- 5Also ist \sqrt{64}=8 und nicht -8, obwohl auch (-8)^2=64 gilt.
| Wurzelexponent | Erlaubte Eingaben | Mögliche Ausgaben |
|---|---|---|
| gerade | x\ge 0 | f(x)\ge 0 |
| ungerade | alle reellen Zahlen | alle reellen Zahlen |
Teste dich
Alle einfachen Grundfunktionen f(x)=\sqrt[n]{x} verlaufen durch (0|0) und (1|1). Auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich sind sie streng monoton steigend: Wird die Eingabe größer, wird auch der Funktionswert größer. Die Graphen wachsen unbegrenzt, werden für große positive Eingaben aber zunehmend flach. Graph einer geraden Wurzel: Der Graph von f(x)=\sqrt{x} beginnt bei (0|0) und liegt vollständig im ersten Quadranten. Wegen seines einseitigen Definitionsbereichs ist er weder achsen- noch punktsymmetrisch. Graph einer ungeraden Wurzel: Der Graph von g(x)=\sqrt[3]{x} verläuft zusätzlich durch (-1|-1). Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung: Zu jedem Punkt (x|y) gehört auch (-x|-y).
Merke: Gerade Wurzel: Der Grundgraph beginnt im Ursprung. Ungerade Wurzel: Der Grundgraph setzt sich durch den Ursprung in den Bereich negativer Eingaben fort.
Teste dich
Eine transformierte Wurzelfunktion kann so aussehen: f(x)=a\sqrt[n]{x+b}+c. Die Parameter verändern den Grundgraphen: c verschiebt ihn vertikal: c>0 nach oben, c<0 nach unten. b verschiebt ihn horizontal mit umgekehrtem Vorzeichen: x+b bedeutet eine Verschiebung nach links. |a|>1 streckt den Graphen vertikal. 0<|a|<1 staucht ihn vertikal. a<0 spiegelt ihn zusätzlich an der x-Achse.
Beispiel: Untersuche f(x)=2\sqrt{x-3}+1.
- 1Wegen x-3 wird der Quadratwurzelgraph um 3 nach rechts verschoben.
- 2Der Faktor 2 streckt ihn vertikal.
- 3Der Summand 1 verschiebt ihn um 1 nach oben.
- 4Für den Radikanden gilt x-3\ge 0. Deshalb ist D=[3,\infty).
- 5Die kleinste Ausgabe entsteht bei x=3: f(3)=1. Deshalb ist W=[1,\infty).
- 6Der neue Startpunkt ist (3|1). Als Kontrolle gilt f(7)=2\sqrt{4}+1=5.
Teste dich
Eine Umkehrfunktion vertauscht Eingabe und Ausgabe. Ihre Graphen sind Spiegelbilder an der Geraden y=x. Die Quadratfunktion p(x)=x^2 besitzt auf ganz \mathbb{R} keine Umkehrfunktion: Die Eingaben 2 und -2 liefern beide die Ausgabe 4. Beschränkt man sie auf x\ge 0, ist jede Ausgabe eindeutig einer Eingabe zugeordnet. Auf diesem eingeschränkten Bereich gilt: p(x)=x^2 \quad\Longleftrightarrow\quad p^{-1}(x)=\sqrt{x}. Bei ungeradem Exponenten ist keine solche Einschränkung nötig. Die Funktion x^3 ist auf ganz \mathbb{R} streng steigend und wird durch \sqrt[3]{x} umgekehrt.
Beispiel: Umkehrung am Beispiel 3 und 9
- 1Eingeschränkte Quadratfunktion: 3\longmapsto 9
- 2Die Umkehrfunktion vertauscht den Weg: 9\longmapsto 3
- 3Also gilt \sqrt{9}=3.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Wurzelfunktion
Bedeutung
macht eine passende Potenzierung rückgängig
Gerade Wurzel
Eingaben und Ausgaben nichtnegativ
Ungerade Wurzel
alle reellen Eingaben und Ausgaben
Grundgraph
streng steigend und durch (0|0) sowie (1|1)
Transformationen
verschieben, strecken, stauchen oder spiegeln
Umkehrung
Spiegelung des Graphen an y=x
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
f(x)=-\sqrt{x-1}+3 untersuchen
- 1Radikand: x-1\ge 0, also D=[1,\infty)
- 2Startpunkt: f(1)=-\sqrt{0}+3=3, also (1|3)
- 3Das Minus spiegelt an der x-Achse: Der Graph fällt ab dem Startpunkt.
- 4Deshalb ist W=(-\infty,3].
- 5Kontrolle: f(5)=-\sqrt{4}+3=-2+3=1
Fehler finden
Definitionsbereich von f(x)=\sqrt{x+5}+2 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Beim Umstellen wurde 5 nicht abgezogen. Richtig: x+5\ge 0, also x\ge -5 und D=[-5,\infty).
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei g(x)=\sqrt{x+4}-2 wird der Grundgraph um und um verschoben. Sein Startpunkt hat die x-Koordinate .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback