Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Zylindervolumen berechnen: Formel und Beispiele
Das Zylindervolumen ist Grundfläche mal Höhe. Du lernst die Formel, rechnest mit Radius oder Durchmesser und stellst nach Höhe oder Radius um.
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Kurz gesagt
Das Volumen eines Zylinders berechnest du mit Grundfläche mal Höhe: V = \pi \cdot r^2 \cdot h. Ist der Durchmesser gegeben, halbierst du ihn zuerst. Beispiel: r = 3\,\mathrm{cm} und h = 8\,\mathrm{cm} ergeben V = 72\pi\,\mathrm{cm^3} \approx 226{,}2\,\mathrm{cm^3}.
Wie viel passt in eine Dose, ein Glas oder ein Rohr? Das sagt dir das Volumen des Zylinders. Du berechnest es mit Grundfläche mal Höhe, bei einer kreisförmigen Grundfläche also mit V = \pi \cdot r^2 \cdot h. Hier lernst du, warum das gilt, wie du mit Radius oder Durchmesser rechnest und wie du die Formel nach Höhe oder Radius umstellst.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir den Zylinder als Stapel aus vielen gleich großen, sehr dünnen Kreisscheiben vor. Jede Scheibe hat dieselbe Grundfläche G. Die Höhe h beschreibt, wie hoch dieser Stapel ist. Daher gilt: V = G \cdot h Die Grundfläche eines Kreiszylinders ist ein Kreis mit dem Radius r: G = \pi \cdot r^2 Setzt du diese Kreisfläche in V = G \cdot h ein, erhältst du die Volumenformel: V = \pi \cdot r^2 \cdot h
Definition
Volumen
Das Volumen ist der Rauminhalt eines Körpers. Es wird in Kubikeinheiten angegeben, zum Beispiel in \mathrm{cm^3}, \mathrm{dm^3} oder \mathrm{m^3}.
Merke: Beim Zylinder kommt das Quadrat nur beim Radius vor: V = \pi \cdot r^2 \cdot h. Die Höhe wird nicht quadriert.
Teste dich
Du brauchst den Radius r und die senkrechte Höhe h. Beide Längen müssen in derselben Einheit angegeben sein. Gehe in fünf Schritten vor: Prüfe, ob ein Radius oder ein Durchmesser gegeben ist. Rechne bei einem Durchmesser zuerst r = d : 2. Berechne die Grundfläche G = \pi \cdot r^2. Multipliziere die Grundfläche mit der Höhe. Gib das Ergebnis in einer passenden Kubikeinheit an.
Beispiel: Volumen für r = 3\,\mathrm{cm} und h = 8\,\mathrm{cm}
- 1Grundfläche: G = \pi \cdot (3\,\mathrm{cm})^2 = 9\pi\,\mathrm{cm^2}
- 2Volumen: V = 9\pi\,\mathrm{cm^2} \cdot 8\,\mathrm{cm} = 72\pi\,\mathrm{cm^3}
- 3Einheit: \mathrm{cm^2} \cdot \mathrm{cm} = \mathrm{cm^3}, also kubisch
Beispiel: Durchmesser gegeben: d = 10\,\mathrm{cm} und h = 12\,\mathrm{cm}
- 1Radius: r = 10\,\mathrm{cm} : 2 = 5\,\mathrm{cm}, nicht 10\,\mathrm{cm}
- 2V = \pi \cdot (5\,\mathrm{cm})^2 \cdot 12\,\mathrm{cm} = 300\pi\,\mathrm{cm^3}
Teste dich
Manchmal sind das Volumen und nur eine der beiden Längen gegeben. Dann stellst du V = \pi \cdot r^2 \cdot h nach der gesuchten Größe um. Höhe berechnen: Teile das Volumen durch die Grundfläche: h = \frac{V}{\pi \cdot r^2} Radius berechnen: Teile zuerst durch \pi \cdot h. Danach ziehst du die positive Quadratwurzel: r = \sqrt{\frac{V}{\pi \cdot h}} Nur die positive Lösung ist als Radius sinnvoll, weil eine Länge nicht negativ sein kann.
Beispiel: Höhe aus V = 240\pi\,\mathrm{cm^3} und r = 4\,\mathrm{cm}
- 1h = \frac{240\pi\,\mathrm{cm}^3}{\pi \cdot (4\,\mathrm{cm})^2}
- 2h = \frac{240\pi\,\mathrm{cm}^3}{16\pi\,\mathrm{cm}^2} = 15\,\mathrm{cm}
- 3Einheitenkontrolle: \mathrm{cm^3} : \mathrm{cm^2} = \mathrm{cm}
Merke: Bestimme vor dem Umstellen, welche Größe gesucht ist. Für die Höhe genügt eine Division. Für den Radius musst du zusätzlich die Quadratwurzel ziehen.
Teste dich
Hohlzylinder: Ein Rohr oder Trinkhalm enthält einen zylindrischen Hohlraum. Für das Materialvolumen ziehst du das innere Zylindervolumen vom äußeren ab. Mit Außenradius R, Innenradius r und Höhe h gilt: V = \pi \cdot (R^2 - r^2) \cdot h Schräger Zylinder: Auch bei einem schrägen Zylinder gilt V = \pi \cdot r^2 \cdot h. Dabei ist h immer der senkrechte Abstand zwischen den parallelen Grundflächen. Eine schräge Seitenkante darfst du nicht einfach als Höhe einsetzen. Ist die Seitenlänge s gegeben und ist \alpha der Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Grundfläche, dann gilt h = s \cdot \sin(\alpha). Damit folgt: V = \pi \cdot r^2 \cdot s \cdot \sin(\alpha)
Beispiel: Materialvolumen eines Rohrs: R = 5\,\mathrm{cm}, r = 3\,\mathrm{cm}, h = 10\,\mathrm{cm}
- 1V = \pi \cdot ((5\,\mathrm{cm})^2 - (3\,\mathrm{cm})^2) \cdot 10\,\mathrm{cm}
- 2V = \pi \cdot (25 - 9)\,\mathrm{cm^2} \cdot 10\,\mathrm{cm} = 160\pi\,\mathrm{cm^3}
- 3Nur mit dem Außenradius würdest du den Hohlraum fälschlich mitzählen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Zylinder: Volumen
Grundidee
V = G \cdot h, beim Kreiszylinder V = \pi \cdot r^2 \cdot h
Durchmesser
zuerst r = d : 2
Umstellen
h = V : (\pi \cdot r^2), für r zusätzlich die Wurzel ziehen
Hohlzylinder
Innenvolumen abziehen
Schräger Zylinder
senkrechte Höhe verwenden
Ergebniseinheit
Kubikeinheit, vorher alle Längen in dieselbe Einheit
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Radius einer Dose mit V = 500\pi\,\mathrm{cm^3} und h = 20\,\mathrm{cm}
- 1Gegeben: V = 500\pi\,\mathrm{cm^3} und h = 20\,\mathrm{cm}, gesucht ist r
- 2r^2 = \frac{V}{\pi \cdot h} = \frac{500\pi\,\mathrm{cm}^3}{\pi \cdot 20\,\mathrm{cm}}
- 3r^2 = 25\,\mathrm{cm^2}
- 4r = \sqrt{25\,\mathrm{cm}^2} = 5\,\mathrm{cm}, nur die positive Lösung ist ein Radius
- 5Probe: \pi \cdot (5\,\mathrm{cm})^2 \cdot 20\,\mathrm{cm} = 500\pi\,\mathrm{cm^3}
Fehler finden
Volumen eines Glases mit d = 6\,\mathrm{cm} und h = 9\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Der Durchmesser wurde als Radius eingesetzt. Richtig ist r = 6\,\mathrm{cm} : 2 = 3\,\mathrm{cm}, also G = 9\pi\,\mathrm{cm^2} und V = 81\pi\,\mathrm{cm^3} \approx 254{,}5\,\mathrm{cm^3}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ein Zylinder mit dem Durchmesser 14\,\mathrm{cm} hat den Radius . Vor dem Einsetzen wird der Radius . Das Volumen wird in angegeben.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback