Mathematik · Klasse 10 · aktualisiert
Halbwertszeit berechnen: Formeln und Beispiele
Die Halbwertszeit sagt, wann nur noch die Hälfte übrig ist. Du lernst, mit ihr Bestände zu berechnen und sie aus Rate oder Zerfallskonstante zu bestimmen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Halbwertszeit T_H ist die feste Zeitspanne, nach der bei exponentieller Abnahme nur noch die Hälfte des Bestands da ist. Nach n Halbwertszeiten bleibt der Anteil (\frac{1}{2})^n. Bei einer Abnahme um p % pro Zeiteinheit gilt T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(q)} mit q = 1 - \frac{p}{100}.
Die Halbwertszeit ist die feste Zeitspanne, nach der bei einer exponentiellen Abnahme nur noch die Hälfte eines Bestands vorhanden ist. Du kannst sie durch wiederholtes Halbieren nutzen oder mit Logarithmen aus dem Abnahmefaktor berechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Halbwertszeit gehört zu einer exponentiellen Abnahme: In gleich langen Zeitabschnitten wird der vorhandene Bestand immer mit demselben Faktor multipliziert. Die absolute Abnahme wird dabei kleiner, weil der jeweils neue Bestand die Grundlage für den nächsten Schritt ist. Nach jeder weiteren Halbwertszeit halbiert sich der dann noch vorhandene Bestand erneut. Aus 100 % werden 50 %, dann 25 % und danach 12,5 %.
Definition
Halbwertszeit
Die Halbwertszeit T_H ist die Zeitspanne, nach der ein exponentiell abnehmender Bestand B(t) die Hälfte seines Anfangswerts erreicht: B(T_H) = 0{,}5 \cdot B(0).
Merke: Die Halbwertszeit sagt nicht, wann der ganze Bestand verschwunden ist. Sie beschreibt eine wiederkehrende Halbierung.
Teste dich
Ist T_H bekannt, beschreibst du den Bestand mit B(t) = B(0) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_H}. Der Exponent t/T_H zählt, wie viele Halbwertszeiten vergangen sind. Nach drei Halbwertszeiten ist der Faktor deshalb \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}.
Beispiel: Jod-131: Halbwertszeit 8,02 Tage, Anfangsbestand 20 mg
- 1Nach 16,04 Tagen: 16,04 : 8,02 = 2 Halbwertszeiten
- 2B(16{,}04) = 20 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 5
- 3Nach 16,04 Tagen sind noch 5 mg vorhanden.
- 4Kontrolle: 20 mg → 10 mg → 5 mg
Teste dich
Sinkt ein Bestand pro Zeiteinheit um p %, lautet der Abnahmefaktor q = 1 - \frac{p}{100} und das Modell B(t) = B(0) \cdot q^t. Bei einer exponentiellen Abnahme liegt q zwischen 0 und 1. Für die Halbwertszeit setzt du den Bestand gleich der Hälfte des Anfangswerts: B(0) \cdot q^{T_H} = 0{,}5 \cdot B(0). Der Anfangsbestand kürzt sich, also hängt T_H nur von q ab: q^{T_H} = 0{,}5. Logarithmieren löst den Exponenten: T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(q)}. Beide Logarithmen sind negativ, ihr Quotient ist deshalb positiv. Die Einheit kommt von der Rate.
Beispiel: Caesium nimmt jährlich um 2,284 % ab
- 1q = 1 - \frac{2{,}284}{100} = 0{,}97716
- 2T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}97716)} \approx 30
- 3Nach etwa 30 Jahren ist noch die Hälfte vorhanden.
Merke: Erst den Faktor q bestimmen, dann q^{T_H} = 0{,}5 mit dem Logarithmus lösen. Der Anfangsbestand spielt keine Rolle.
Teste dich
Manche Zerfallsprozesse werden mit der Exponentialfunktion zur Basis e beschrieben: B(t) = B(0) \cdot e^{-\lambda t}. Die positive Zahl \lambda heißt Zerfallskonstante, das Minuszeichen sorgt für die Abnahme. Für die Halbwertszeit gilt T_H = \frac{\ln 2}{\lambda}. Das ist dieselbe Halbierungsbedingung in anderer Schreibweise. Alle diese Formeln setzen voraus, dass Abnahmefaktor oder Zerfallskonstante gleich bleiben. Bei einer linearen Abnahme mit immer demselben absoluten Verlust gibt es keine wiederkehrende Halbwertszeit. Prüfe außerdem die unabhängige Größe: Beim Luftdruck mit etwa 13 % Abnahme pro Kilometer ist q = 0,87. Die Gleichung 0{,}87^h = 0{,}5 liefert eine Höhendifferenz von etwa 5 km, keine Zeitspanne. Das Wort Halbwertszeit passt dort nicht.
Beispiel: f(t) = 18 \cdot e^{-0{,}065 t} mit t in Minuten
- 118 \cdot e^{-0{,}065 \cdot T_H} = 0{,}5 \cdot 18
- 2-0{,}065 \cdot T_H = \ln(0{,}5)
- 3T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}065} \approx 10{,}66
- 4Die Größe halbiert sich etwa alle 10,7 Minuten.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Halbwertszeit
Bedeutung
nach jeder Halbwertszeit bleibt die Hälfte des aktuellen Bestands
Bedingung
B(T_H) = 0{,}5 \cdot B(0)
Mehrere Halbwertszeiten
nach n Halbwertszeiten bleibt (\frac{1}{2})^n
Faktor-Modell
q = 1 - \frac{p}{100} und T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(q)}
Kontinuierliches Modell
B(t) = B(0) \cdot e^{-\lambda t} und T_H = \frac{\ln 2}{\lambda}
Prüfen
gleichbleibender Faktor und die richtige unabhängige Größe
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ein Medikament wird pro Stunde um 20 % abgebaut
- 1q = 1 - \frac{20}{100} = 0{,}8
- 2Halbierungsbedingung: 0{,}8^{T_H} = 0{,}5
- 3T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}8)} \approx 3{,}11
- 4Nach etwa 3,1 Stunden ist nur noch die Hälfte im Blut.
Fehler finden
Wie viel von 80 mg ist nach zwei Halbwertszeiten übrig? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3In der zweiten Halbwertszeit wird der aktuelle Bestand halbiert, nicht noch einmal 40 mg abgezogen: 40 mg · 12 = 20 mg.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Nach einer Halbwertszeit ist noch des Bestands da. Nach drei Halbwertszeiten bleibt übrig. Die Halbwertszeit hängt ab.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback