Wurzelgleichungen lösen: Verfahren und Probe

Ein Beispiel ist \sqrt{x+2}=6. Dagegen ist \sqrt{9}+x=7 keine Wurzelgleichung: Die Variable steht nicht unter der Wurzel, und die konstante Wurzel lässt sich direkt berechnen. Bei einer reellen Quadratwurzel muss der Radikand mindestens null sein. Für \sqrt{x+2} gilt daher x+2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -2. Das ist die Definitionsbedingung. Bei mehreren geraden Wurzeln müssen alle Radikanden nichtnegativ sein. Ungerade Wurzeln wie die dritte Wurzel sind dagegen auch für negative Radikanden definiert.

Gehe bei Quadratwurzeln in dieser Reihenfolge vor: Definitionsbedingungen bestimmen: Setze jeden Radikanden einer Quadratwurzel mindestens null. Wurzel isolieren: Bringe die übrigen Terme möglichst auf die andere Seite. Vollständige Seiten quadrieren: Quadriere alles, was links und rechts vom Gleichheitszeichen steht. Restgleichung lösen: Löse die entstandene lineare oder quadratische Gleichung. Probe durchführen: Setze jeden Kandidaten in die ursprüngliche Wurzelgleichung ein. Bei einer n-ten Wurzel verwendest du die n-te Potenz: Eine dritte Wurzel beseitigst du durch Kubieren, eine vierte Wurzel durch die vierte Potenz. Warum ist das Isolieren so hilfreich? Würdest du bei \sqrt{x+2}-2=4 sofort die linke Seite quadrieren, entstünde \left(\sqrt{x+2}-2\right)^2=x+6-4\sqrt{x+2}. Die Wurzel wäre noch da. Addierst du zuerst 2, steht nur noch \sqrt{x+2}=6 da.

Quadrieren ist nicht eindeutig umkehrbar: Aus 3^2=(-3)^2 kannst du nicht schließen, dass 3=-3 gilt. Deshalb kann die quadrierte Gleichung mehr Lösungen haben als die ursprüngliche. Drei Fehler passieren dabei besonders oft. Nur einzelne Terme quadrieren: Aus \sqrt{x+7}-1=\sqrt{x+2} folgt links \left(\sqrt{x+7}-1\right)^2=x+7-2\sqrt{x+7}+1. Der mittlere Term aus der binomischen Formel darf nicht fehlen. Definitionsbedingung mit der Probe verwechseln: Die Definitionsbedingung sagt nur, wo die Wurzeln reell definiert sind. Ob ein Wert die Gleichung erfüllt, zeigt erst die Probe. In der falschen Gleichung prüfen: Setze Kandidaten immer in die Ursprungsgleichung ein. In der quadrierten Gleichung fällt eine Scheinlösung nicht auf.

Bei mehreren Wurzeln wiederholst du die Schritte isolieren und quadrieren, bis keine Wurzel mehr übrig ist. Beide Radikanden müssen dabei nichtnegativ sein. Stehen zwei Wurzeln gegenüber, quadrierst du beide vollständigen Seiten. Bei einer verschachtelten Wurzel beseitigst du zuerst die äußere Wurzel, isolierst dann die innere und quadrierst erneut. Die Probe in der Ursprungsgleichung bleibt auch hier Pflicht.