Mathematik · Klasse 3–9 · aktualisiert
Baumdiagramm: Aufbau und Pfadregeln einfach erklärt
Ein Baumdiagramm ordnet Vorgänge in mehreren Schritten. Du lernst, damit Möglichkeiten zu zählen und mit den Pfadregeln Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.
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Kurz gesagt
Ein Baumdiagramm zeigt einen mehrstufigen Vorgang als verzweigten Baum: Jede Stufe ist ein Schritt, jeder vollständige Pfad ein möglicher Ablauf. Entlang eines Pfades multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten (Produktregel), mehrere günstige Pfade addierst du (Summenregel).
Zweimal eine Münze werfen, zwei Kugeln aus einer Urne ziehen, ein Outfit aus T-Shirt und Hose wählen: All das läuft in mehreren Schritten ab. Ein Baumdiagramm ordnet solche Möglichkeiten. Jeder vollständige Pfad steht für einen möglichen Ablauf. Trägst du zusätzlich Wahrscheinlichkeiten an den Ästen ein, kannst du Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren und die Ergebnisse verschiedener günstiger Pfade addieren.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir vor, du wirfst eine faire Münze zweimal. Jeder Wurf ist eine Stufe. Vom Startpunkt führt je ein Ast zu Kopf und zu Zahl. Von jedem erreichten Punkt, einem Knoten, führen wieder zwei Äste zu Kopf und Zahl. Ein Pfad führt vom Start bis zu einem vollständigen Ergebnis, zum Beispiel „Kopf, dann Zahl“. Ein Baum kann auch nur Möglichkeiten ordnen, ohne Wahrscheinlichkeiten. Dann heißt er Abzählbaum, und jeder vollständige Pfad ist genau eine Kombination. Weil du jede Wahl der ersten Stufe mit jeder Wahl der zweiten verbindest, fehlt keine Kombination.
Beispiel: 3 T-Shirts und 2 Hosen kombinieren
- 11. Stufe: 3 Äste, einer für jedes T-Shirt
- 22. Stufe: von jedem T-Shirt 2 Äste, einer für jede Hose
- 3Anzahl der Pfade: 3 · 2 = 6
- 4Es gibt 6 verschiedene Kombinationen.
Merke: Beim Abzählen ist jeder vollständige Pfad eine Möglichkeit. Die Anzahlen der Äste aufeinanderfolgender Stufen werden multipliziert.
Teste dich
Schreibst du an jeden Ast eine Wahrscheinlichkeit, kannst du mit dem Baum rechnen. Von jedem Knoten aus ergeben die Wahrscheinlichkeiten aller Äste zusammen 1, also 100 %. Beim Münzwurf ist das 0,5 + 0,5 = 1. Dann gelten zwei Regeln. Produktregel: Entlang eines Pfades multiplizierst du, denn ein Pfad heißt „das eine UND dann das andere“. Summenregel: Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, addierst du ihre Pfadwahrscheinlichkeiten, denn sie sind durch ODER verbunden.
Definition
Zweigwahrscheinlichkeit
Eine Zweigwahrscheinlichkeit steht an einem Ast. Sie gibt an, wie wahrscheinlich der nächste Ausgang unter den bisherigen Bedingungen ist.
Beispiel: Zweimal eine Münze werfen
- 1Zweimal Zahl, Produktregel: P(ZZ) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 = 25\,\%
- 2Bei vielen Doppelwürfen kommt also in etwa einem Viertel zweimal Zahl.
- 3Einmal Kopf und einmal Zahl: die Pfade KZ und ZK
- 4Summenregel: P(KZ \text{ oder } ZK) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 + 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}5 = 50\,\%
Merke: Entlang eines Pfades wird multipliziert. Zwischen mehreren günstigen Pfaden wird addiert.
Teste dich
In einer Urne liegen 3 rote, 1 blaue und 2 gelbe Kugeln, zusammen 6. Du ziehst zweimal nacheinander. Mit Zurücklegen kommt die erste Kugel zurück, der Inhalt der Urne bleibt gleich. Rot hat dann in beiden Stufen die Wahrscheinlichkeit 36. Ohne Zurücklegen bleibt die gezogene Kugel draußen. Nach einer roten Kugel liegen nur noch 2 rote unter 5 Kugeln. Die zweite Wahrscheinlichkeit hängt also vom ersten Ergebnis ab. Die Produktregel gilt trotzdem, du nimmst nur die jeweils gültige Zweigwahrscheinlichkeit.
Beispiel: Zweimal Rot mit und ohne Zurücklegen
- 1Mit Zurücklegen: P(RR) = \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{1}{4} = 25\,\%
- 2Ohne Zurücklegen sind im zweiten Zug noch 2 rote von 5 Kugeln da.
- 3P(R \text{ im 2. Zug} \mid R \text{ im 1. Zug}) = \frac{2}{5}
- 4Der senkrechte Strich bedeutet „unter der Bedingung, dass“.
- 5Ohne Zurücklegen: P(RR) = \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5} = 20\,\%
Merke: Ohne Zurücklegen passt du nach jedem Zug den Bestand an. Die Gesamtzahl und oft auch die Zahl der günstigen Kugeln werden kleiner.
Teste dich
Bei „mindestens einmal Rot“ müsstest du alle Pfade mit einem oder mehreren roten Ergebnissen sammeln. Kürzer ist oft der Umweg über das Gegenereignis „keinmal Rot“. Das ist nur ein einziger Pfad. Du berechnest ihn und ziehst das Ergebnis von 1 ab. Im Beispiel wird ein Glücksrad zweimal gedreht, Rot hat bei jeder Drehung die Wahrscheinlichkeit 0,3.
Definition
Gegenereignis
Das Gegenereignis umfasst alle Ergebnisse, bei denen das gesuchte Ereignis nicht eintritt. Für ein Ereignis E hat es die Wahrscheinlichkeit 1 - P(E).
Beispiel: Mindestens einmal Rot bei zwei Drehungen
- 1Nicht Rot: 1 − 0,3 = 0,7
- 2P(\text{kein Rot}) = 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}49
- 3P(\text{mindestens einmal Rot}) = 1 - 0{,}49 = 0{,}51 = 51\,\%
Merke: Bei „mindestens einmal“ prüfst du zuerst, ob „keinmal“ leichter zu berechnen ist.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Baumdiagramm
Aufbau
Stufen, Äste und Pfade, jeder vollständige Pfad ist eine Möglichkeit
Kontrolle
Die Äste an jedem Knoten ergeben zusammen 1
Produktregel
entlang eines Pfades multiplizieren
Summenregel
mehrere günstige Pfade addieren
Ohne Zurücklegen
Bestand nach jedem Zug anpassen
Mindestens einmal
über das Gegenereignis „keinmal“ rechnen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Eine rote und eine blaue Kugel ohne Zurücklegen
- 1Urne: 3 rote, 1 blaue, 2 gelbe Kugeln, zweimal ohne Zurücklegen, Reihenfolge egal
- 2Günstige Pfade: RB und BR
- 3P(RB) = \frac{3}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}
- 4P(BR) = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{10}
- 5Summenregel: P(\text{eine rote und eine blaue}) = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{1}{5} = 20\,\%
Fehler finden
Zweimal Gelb ohne Zurücklegen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Entlang eines Pfades wird multipliziert, nicht addiert. Richtig: P(GG) = \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten . Die Wahrscheinlichkeiten mehrerer günstiger Pfade werden . Ohne Zurücklegen wird der Bestand in der Urne nach jedem Zug .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback