Mathematik · Klasse 2–3 · aktualisiert
Zauberquadrate erkennen, lösen und erforschen
Im Zauberquadrat haben alle Zeilen, Spalten und Diagonalen dieselbe Summe. Du lernst, es zu prüfen, Lücken zu füllen und neue zu bauen.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Zauberquadrat ist ein Zahlenquadrat, in dem jede Zeile, jede Spalte und beide Diagonalen dieselbe Summe haben: die Zauberzahl. Im normalen 3×3-Quadrat mit den Zahlen 1 bis 9 ist sie 15. Eine fehlende Zahl ist die Zauberzahl minus die Summe der bekannten Zahlen ihrer Reihe.
In einem Zauberquadrat haben alle Zeilen, alle Spalten und die beiden Diagonalen dieselbe Summe. Diese gemeinsame Summe heißt Zauberzahl. Du kannst fehlende Einträge berechnen, indem du bekannte Zahlen von der Zauberzahl abziehst.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein 3×3-Quadrat hat drei Zeilen und drei Spalten. Zusätzlich verlaufen zwei Diagonalen von Ecke zu Ecke. Prüfe das Quadrat in der Tabelle: Die obere Zeile ergibt 6+7+2=15, die mittlere Spalte 7+5+3=15. Die Diagonale von links oben nach rechts unten ergibt 6+5+4=15, die andere Diagonale 2+5+8=15. Auch alle übrigen Zeilen und Spalten ergeben 15. Das Zahlenfeld ist deshalb ein Zauberquadrat mit der Zauberzahl 15.
Definition
Zauberquadrat
Ein Zauberquadrat ist ein quadratisches Zahlenfeld, in dem jede Zeile, jede Spalte und beide Diagonalen dieselbe Summe ergeben. Diese Summe heißt Zauberzahl oder magische Zahl.
| Spalte 1 | Spalte 2 | Spalte 3 |
|---|---|---|
| 6 | 7 | 2 |
| 1 | 5 | 9 |
| 8 | 3 | 4 |
Merke: Prüfe nicht nur die Zeilen. Erst wenn Zeilen, Spalten und beide Diagonalen dieselbe Summe haben, ist die Summenregel erfüllt.
Teste dich
Ein normales Zauberquadrat der Ordnung 3 verwendet jede Zahl von 1 bis 9 genau einmal. „Ordnung 3“ bedeutet, dass jede Seite drei Felder lang ist. Für dieses normale 3×3-Quadrat gelten drei hilfreiche Muster: Die Zauberzahl ist 15. In der Mitte steht die 5. Je zwei Zahlen, die mit der 5 auf einer Geraden liegen, ergeben zusammen 10. Im Beispiel liegen 6 und 4 einander gegenüber, daher gilt 6+4=10 und mit der Mitte 6+5+4=15. Drehst oder spiegelst du ein normales 3×3-Zauberquadrat, sieht die Anordnung anders aus. Es gehört aber zur gleichen Grundlösung und hat dieselbe Zauberzahl.
Beispiel: Die Zauberzahl mit der Formel
- 1Normales Quadrat der Ordnung n mit den Zahlen 1 bis n^2:
- 2M=\frac{1}{2}n(n^2+1)
- 3Für n=3: M=\frac{1}{2}\cdot3\cdot(9+1)
- 4M=\frac{1}{2}\cdot30=15
Merke: Im normalen 3×3-Zauberquadrat ist die Zauberzahl 15, in der Mitte steht die 5, und gegenüberliegende Zahlen ergeben zusammen 10.
Teste dich
Suche zuerst eine Zeile, Spalte oder Diagonale, in der nur ein Feld fehlt. Dann gehst du in drei Schritten vor: Bestimme die Zauberzahl M. Addiere die bekannten Zahlen der Reihe. Ziehe diese Summe von der Zauberzahl ab. Als Formel: x=M-\text{Summe der bekannten Einträge} Wenn mehrere Felder fehlen, beginne mit einer Reihe, in der du alle Zahlen bis auf eine kennst. Die neu berechnete Zahl macht oft eine weitere Reihe lösbar.
Beispiel: Eine Lücke in der Zeile 6, 7, ?
- 1Zauberzahl: 15
- 2Bekannte Zahlen addieren: 6+7=13
- 3Zur Zauberzahl ergänzen: 15-13=2
- 4Kontrolle: 6+7+2=15
Teste dich
Du kannst aus einem Zauberquadrat weitere Zauberquadrate erzeugen. Alle Einträge gleich verändern: Addierst du zu jedem Eintrag dieselbe Zahl, bleiben die Reihensummen untereinander gleich. Jede Reihe hat drei Einträge. Addierst du überall 2, wächst daher jede Reihensumme um 3\cdot2=6: Aus der Zauberzahl 15 wird 21 (Tabelle). Multiplizierst du jeden Eintrag mit 2, verdoppelt sich jede Reihensumme: Aus 15 wird 30. Das Quadrat bewegen: Auch Drehen um 90°, 180° oder 270° sowie Spiegeln erhält die Summenregel. Die Zahlen wechseln ihre Plätze, aber jede neue Reihe entspricht wieder einer Reihe des Ausgangsquadrats. Selbst forschen: Vermute ein Muster, sage das Ergebnis voraus und prüfe es dann an allen Reihen.
| Spalte 1 | Spalte 2 | Spalte 3 |
|---|---|---|
| 8 | 9 | 4 |
| 3 | 7 | 11 |
| 10 | 5 | 6 |
Merke: Behandelst du alle Einträge nach derselben Regel (addieren oder multiplizieren), erhältst du wieder ein Zauberquadrat. Veränderst du nur ein einzelnes Feld, stimmen die Summen meist nicht mehr.
Beispiel: Vorhersage: überall 3 addieren
- 1Gegenüberliegende Paare: 6 und 4, 7 und 3, 2 und 8, 1 und 9
- 2Jedes Paar ergibt 10, mit der Mitte 5 also 15.
- 3Jede Dreierreihe wächst um 3\cdot3=9.
- 4Neue Zauberzahl: 15+9=24
Teste dich
Alles auf einen Blick
Zauberquadrate
Erkennen
Zeilen, Spalten und Diagonalen haben dieselbe Summe
Normales 3×3-Quadrat
Zahlen 1 bis 9, Mitte 5, Zauberzahl 15
Berechnen
Zauberzahl minus Summe der bekannten Einträge
Prüfen
Jede der acht Reihen kontrollieren
Verändern
Alle Einträge nach derselben Regel behandeln
Drehen und Spiegeln
Die Summenregel bleibt erhalten
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Drei Lücken füllen (Zauberzahl 15)
- 1Gegeben: oben 8, ?, 6; Mitte ?, 5, 7; unten 4, ?, 2
- 2Obere Zeile: 15-(8+6)=15-14=1
- 3Mittlere Zeile: 15-(5+7)=15-12=3
- 4Untere Zeile: 15-(4+2)=15-6=9
- 5Probe Diagonalen: 8+5+2=15 und 6+5+4=15
- 6Probe mittlere Spalte: 1+5+9=15
Fehler finden
Zu jedem Eintrag 10 addieren In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Jede Reihe enthält drei Einträge, und jeder wird um 10 größer. Die Reihe wächst also um 3\cdot10=30, die neue Zauberzahl ist 15+30=45.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
In einem Zauberquadrat haben alle Zeilen, Spalten und dieselbe Summe. Im normalen 3×3-Quadrat steht in der Mitte die . Eine fehlende Zahl ist die Zauberzahl die Summe der bekannten Einträge.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback