Mathematik · Klasse 8–10 · aktualisiert
Bruchterme: Definitionsmenge und Rechenregeln
Ein Bruchterm hat eine Variable im Nenner. Du lernst, seine Definitionsmenge zu bestimmen, ihn zu kürzen und zu erweitern und mit ihm zu rechnen.
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Kurz gesagt
Ein Bruchterm ist ein Bruch mit einer Variablen in mindestens einem Nenner, zum Beispiel \frac{10}{x-5}. Zuerst schließt du die Werte aus, bei denen ein Nenner null wird, hier x = 5. Danach rechnest du wie mit Zahlenbrüchen: Kürzen nur mit Faktoren, Plus und Minus mit dem Hauptnenner, Geteilt mit dem Kehrwert.
Bei einem Bruchterm steht eine Variable in mindestens einem Nenner, etwa bei \frac{3}{x}. Du rechnest damit fast wie mit gewöhnlichen Brüchen. Der Unterschied: Setzt du für die Variable die falsche Zahl ein, wird der Nenner null, und das ist verboten. Deshalb klärst du immer zuerst, welche Werte erlaubt sind.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Term ist ein Rechenausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Steht eine Variable im Nenner, ist es ein Bruchterm. Weil ein Nenner nie null sein darf, fragst du immer: Welche Werte darf ich einsetzen? Die erlaubten Werte bilden die Definitionsmenge. Du findest sie in drei Schritten: jeden Nenner gleich null setzen, die Gleichungen lösen, die gefundenen Werte ausschließen. Bei \frac{10}{x-5} wird der Nenner für x = 5 null. Über den rationalen Zahlen gilt also D = \mathbb{Q} \setminus \{5\}, alle rationalen Zahlen außer 5.
Definition
Bruchterm
Ein Bruchterm ist ein Bruch, bei dem mindestens ein Nenner eine Variable enthält, zum Beispiel \frac{10}{x-5}.
Beispiel: Definitionsmenge von \frac{13}{4x^2 - 16} über \mathbb{R}
- 1Nenner faktorisieren: 4x^2 - 16 = 4(x-2)(x+2)
- 2Null wird er für x = 2 und für x = -2
- 3Also gilt D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}
Merke: Bestimme die Ausschlusswerte immer am ursprünglichen Term, bevor du kürzt oder umformst.
Teste dich
Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit demselben Faktor. Aus \frac{3}{x} wird mit (x-1) der Term \frac{3(x-1)}{x(x-1)}. Die erweiterte Form ist bei x = 1 nicht definiert, beide Schreibweisen stimmen also für x \neq 0 und x \neq 1 überein. Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Faktor. Erst durch Faktorisieren siehst du, was gekürzt werden darf. Summanden darfst du nie einzeln streichen: Bei \frac{x+2}{x} ist x nur ein Summand des Zählers, kein Faktor.
Beispiel: \frac{(x+1)(x+2)}{x(x+1)} kürzen
- 1Ausschlusswerte am Ausgangsterm: x \neq 0 und x \neq -1
- 2Gemeinsamer Faktor: (x+1)
- 3Kürzen: \frac{(x+1)(x+2)}{x(x+1)} = \frac{x+2}{x}
- 4x = -1 bleibt ausgeschlossen, obwohl (x+1) nicht mehr zu sehen ist
Merke: Kürzen darfst du nur Faktoren, die den ganzen Zähler und den ganzen Nenner multiplizieren. Die ursprünglichen Ausschlusswerte bleiben bestehen.
Teste dich
Bruchterme kannst du erst addieren oder subtrahieren, wenn sie denselben Nenner haben. Der kleinste passende gemeinsame Nenner heißt Hauptnenner. Bei gleichen Nennern rechnest du nur mit den Zählern: \frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a+b}{n}. Beim Subtrahieren wirkt das Minus auf den ganzen zweiten Zähler. Setze ihn deshalb in Klammern: \frac{3}{x} - \frac{5}{x+1} = \frac{3(x+1) - 5x}{x(x+1)} = \frac{3 - 2x}{x(x+1)}.
Beispiel: \frac{3}{x} + \frac{5}{x+1} berechnen
- 1Ausschlusswerte: x \neq 0 und x \neq -1
- 2Hauptnenner: x(x+1)
- 3Erweitern: \frac{3(x+1)}{x(x+1)} + \frac{5x}{x(x+1)}
- 4Zähler zusammenfassen: \frac{3x + 3 + 5x}{x(x+1)} = \frac{8x+3}{x(x+1)}
- 5Das Ergebnis gilt weiter nur für x \neq 0 und x \neq -1
Merke: Erst die Definitionsmenge, dann den Hauptnenner bilden, erweitern, die vollständigen Zähler zusammenfassen und zuletzt vereinfachen.
Teste dich
Beim Multiplizieren gilt: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. So ist \frac{8}{x} \cdot \frac{2}{x+1} = \frac{16}{x(x+1)} mit den Ausschlusswerten x = 0 und x = -1. Beim Dividieren multiplizierst du mit dem Kehrwert des zweiten Bruchterms. Dabei schließt du zusätzlich alle Werte aus, bei denen der Divisor selbst null wird. Durch null darf man nicht teilen.
Beispiel: \frac{x}{x-5} : \frac{x}{x+1} berechnen
- 1Aus den Nennern: x \neq 5 und x \neq -1
- 2Der Divisor \frac{x}{x+1} ist bei x = 0 null, also auch x \neq 0
- 3Mit dem Kehrwert: \frac{x}{x-5} \cdot \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x-5}
- 4Über \mathbb{Q}: D = \mathbb{Q} \setminus \{-1; 0; 5\}
Teste dich
Alles auf einen Blick
Bruchterme
Bruchterm
eine Variable steht in mindestens einem Nenner
Definitionsmenge
Nullstellen aller ursprünglichen Nenner ausschließen
Kürzen und Erweitern
nur mit Faktoren, nie mit Summanden
Plus und Minus
Hauptnenner bilden, ganze Zähler zusammenfassen
Mal und Geteilt
Zähler mal Zähler, beim Teilen mit dem Kehrwert
Ergebnis
Ausschlusswerte bleiben auch nach dem Kürzen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} vereinfachen
- 1Zähler mit der 3. binomischen Formel: x^2 - 9 = (x-3)(x+3)
- 2Nenner ausklammern: x^2 + 3x = x(x+3)
- 3Ausschlusswerte am Ausgangsterm: x \neq 0 und x \neq -3
- 4Kürzen mit (x+3): \frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)} = \frac{x-3}{x}
- 5Ergebnis: \frac{x-3}{x} für x \neq 0 und x \neq -3
Fehler finden
\frac{x^2 + 4x}{x^2 + 2x} vereinfachen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2x^2 ist ein Summand, kein Faktor, und darf nicht gestrichen werden. Richtig: \frac{x(x+4)}{x(x+2)} = \frac{x+4}{x+2} für x \neq 0 und x \neq -2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die Ausschlusswerte bestimmst du am Term. Kürzen darfst du nur gemeinsame . Beim Dividieren multiplizierst du mit dem des zweiten Bruchterms.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback