Zahlenfolgen erkennen und sicher fortsetzen

Die Reihenfolge gehört zur Information. In der Folge 2, 4, 6, 8, \ldots ist 2 das erste, 4 das zweite und 6 das dritte Folgenglied. Die Punkte bedeuten, dass die Folge weitergeht. Eine Folge kann endlich oder unendlich sein. Bei einer unendlichen Folge erklärt eine Bildungsvorschrift, wie ihre Glieder entstehen.

Beginne mit den Übergängen zwischen benachbarten Gliedern. Prüfe zuerst die Differenzen: Was wurde addiert oder subtrahiert? Prüfe dann die Quotienten: Womit wurde multipliziert oder wodurch geteilt? Formuliere die vermutete Regel und prüfe sie an jedem sichtbaren Übergang. Erst danach wendest du sie auf das letzte Glied an. Findest du keine feste Rechnung, prüfe weitere Strukturen: Wechseln zwei Rechenschritte regelmäßig? Bilden jedes zweite oder dritte Glied eigene Teilfolgen? Wachsen die Differenzen nach einer Regel? Sind Quadratzahlen beteiligt? Bei wechselnden Regeln gibst du den Wechsel mit an. Aus der Startzahl 4 und „abwechselnd +2, dann \cdot 3“ entsteht 4, 6, 18, 20, 60, \ldots. Nach 60 folgt wieder +2, also 62.

Eine rekursive Bildungsvorschrift berechnet ein Glied aus vorherigen Gliedern. Dafür brauchst du genügend Anfangsglieder. Für die geraden positiven Zahlen gilt: a_1=2,\qquad a_n=a_{n-1}+2\quad(n\ge 2) Eine explizite Bildungsvorschrift berechnet a_n direkt aus dem Index n: a_n=2n\quad(n=1,2,3,\ldots) Beide erzeugen 2,4,6,8,\ldots. Explizit erhältst du etwa a_6=2\cdot6=12, ohne die Glieder davor auszurechnen. Eine Zahlenfolge ist eine Funktion mit natürlichen Indizes. Ihr Graph besteht deshalb aus einzelnen Punkten (n\mid a_n) und nicht aus einer durchgehenden Kurve. Mit Eigenschaften beschreibst du das Verhalten einer Folge. Die Folge 7,7,7,\ldots ist konstant und damit zugleich monoton wachsend und monoton fallend, aber nicht streng monoton.

Eine endliche Liste legt ohne weitere Einschränkung keine einzige zwingende Fortsetzung fest. Verschiedene Regeln können dieselben sichtbaren Glieder erklären und danach zu verschiedenen Zahlen führen. Darum ist eine gute Lösung mehr als eine Zahl: Nenne deine Regel und zeige, dass sie zu allen sichtbaren Übergängen passt. Nutze möglichst die einfache Regel, die die Aufgabe nahelegt. Bei einer rekursiven Regel müssen außerdem alle benötigten Anfangsglieder feststehen. Die Vorschrift a_n=a_{n-1}+a_{n-2} reicht allein nicht aus. Mit a_1=a_2=1 entsteht dagegen eindeutig 1,1,2,3,5,8,13,\ldots, denn jedes neue Glied ist die Summe der beiden vorherigen.