Mathematik · Klasse 11 · aktualisiert
Betragsfunktion: Graph, Fälle und Gleichungen
Die Betragsfunktion misst den Abstand zu null. Du lernst die Fallformel, den V-förmigen Graphen, Betragsgleichungen und die Spitze bei 0.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Betragsfunktion f(x) = |x| ordnet jeder Zahl ihren Abstand von 0 zu: |x| = x für x \ge 0 und |x| = -x für x < 0. Ihr Graph ist V-förmig mit der Spitze in (0 \mid 0) und achsensymmetrisch zur y-Achse. Bei x = 0 ist sie stetig, aber nicht differenzierbar.
Wie weit bist du vom Treffpunkt entfernt? Ob du davor oder dahinter stehst, ist egal, es zählt nur der Abstand. Genau das macht die Betragsfunktion f(x) = |x|: Sie gibt den Abstand einer Zahl von 0 an und ist deshalb nie negativ. Hier lernst du, Beträge mit Fällen aufzulösen, Betragsgraphen zu lesen, Gleichungen und Ungleichungen zu lösen und die Spitze bei 0 zu verstehen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Der Betrag beantwortet die Frage: Wie weit liegt eine Zahl von 0 entfernt? 4 und -4 liegen beide vier Einheiten von 0 entfernt, also gilt |4| = 4 und |-4| = 4. Das Minus im zweiten Fall der Fallformel macht den Betrag nicht negativ: Für x = -6 ist -x = -(-6) = 6. Steht ein Term im Betrag, entscheidet sein Vorzeichen über den Fall. Bei |x + 1| wechselt das Vorzeichen an der Nullstelle des inneren Terms, also bei x = -1: |x + 1| = \begin{cases} x + 1, & x \ge -1 \\ -x - 1, & x < -1 \end{cases} Bei verschachtelten Beträgen arbeitest du von innen nach außen: \bigl||-4| + |2 \cdot 3| - 10\bigr| = |4 + 6 - 10| = |0| = 0.
Definition
Betrag
Der Betrag |x| ist der nichtnegative Abstand der reellen Zahl x von 0: |x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}
Beispiel: |x + 1| für x = -4
- 1Wegen -4 < -1 gilt der zweite Fall: |x + 1| = -(x + 1)
- 2Einsetzen: -(-4 + 1) = -(-3) = 3
- 3Kontrolle: Der innere Wert ist -3, sein Abstand von 0 ist 3.
Merke: Ein einzelner Betrag ist nie negativ. Ein ganzer Term mit Beträgen kann trotzdem negativ sein, zum Beispiel |2 \cdot (-3)| - |8| = 6 - 8 = -2.
Teste dich
Für x \ge 0 ist f(x) = x: Rechts von 0 verläuft der Graph wie die Gerade y = x. Für x < 0 ist f(x) = -x: Der linke Ast ist der an der x-Achse gespiegelte negative Teil dieser Geraden. So entsteht ein V-förmiger Graph mit dem tiefsten Punkt (0 \mid 0). Er ist achsensymmetrisch zur y-Achse, denn |-x| = |x|. Verschieben kannst du ihn wie andere Graphen: y = |x + 1| ist der Grundgraph, um eine Einheit nach links verschoben, mit der Spitze in (-1 \mid 0). Ein äußerer Betrag y = |f(x)| wirkt auf jeden Graphen so: Teile auf oder über der x-Achse bleiben unverändert, Teile unter der x-Achse werden an ihr nach oben gespiegelt.
| Eigenschaft | Betragsfunktion f(x) = |x| |
|---|---|
| Definitionsbereich | alle reellen Zahlen |
| Wertebereich | alle reellen Zahlen y \ge 0 |
| Tiefster Punkt | (0 \mid 0) |
| Symmetrie | achsensymmetrisch zur y-Achse |
| Monotonie | fällt für x < 0, steigt für x > 0 |
| Stetigkeit | überall stetig, auch bei 0 kein Sprung |
Beispiel: Vom Graphen y = x - 2 zum Graphen y = |x - 2|
- 1Bei x = 0 liegt y = -2 unter der x-Achse: gespiegelt zu (0 \mid 2)
- 2Bei x = 2 ist y = 0: Das wird die Spitze (2 \mid 0)
- 3Bei x = 4 liegt y = 2 über der x-Achse und bleibt: (4 \mid 2)
- 4Ergebnis: ein V mit der Spitze in (2 \mid 0)
Teste dich
Eine Gleichung |u| = b fragt nach allen Werten, die von 0 den Abstand b haben. Für b > 0 gilt u = b oder u = -b. Für b = 0 gilt nur u = 0. Für b < 0 gibt es keine reelle Lösung, weil ein Betrag nie negativ ist. Bei Ungleichungen mit b \ge 0 helfen zwei Abstandsmuster: |u| \le b \iff -b \le u \le b |u| \ge b \iff u \le -b \text{ oder } u \ge b „Höchstens b entfernt“ beschreibt den Bereich zwischen -b und b, „mindestens b entfernt“ die beiden äußeren Bereiche.
Beispiel: |x + 3| = 5 lösen
- 1Zwei Fälle: x + 3 = 5 oder x + 3 = -5
- 2Lösungen: x = 2 oder x = -8
- 3Probe: |2 + 3| = 5 und |-8 + 3| = |-5| = 5
Beispiel: |x - 3| \le 9 lösen
- 1Abstandsmuster: -9 \le x - 3 \le 9
- 2In allen drei Teilen 3 addieren: -6 \le x \le 12
- 3Lösungsmenge: das Intervall [-6;\,12] mit der Mitte 3
Teste dich
Außerhalb von 0 besteht der Graph aus zwei Geradenstücken. Dort leitest du abschnittsweise ab: f'(x) = 1 für x > 0 und f'(x) = -1 für x < 0. Bei x = 0 treffen beide Äste in einer Spitze zusammen. Entscheidend sind dann die Steigungen von rechts und von links. Weil sie verschieden sind, hat |x| bei x = 0 keine Ableitung. Stetig ist die Funktion dort trotzdem. Zwei wichtige Rechenregeln für Beträge sind |ab| = |a| \, |b| und die Dreiecksungleichung |a + b| \le |a| + |b|. Sie sagt anschaulich: Der direkte Abstand ist nie größer als ein Weg über einen Zwischenpunkt.
Beispiel: Differenzenquotient bei x = 0
- 1Für h > 0: \frac{|h| - 0}{h} = \frac{h}{h} = 1
- 2Für h < 0: \frac{|h| - 0}{h} = \frac{-h}{h} = -1
- 3Rechtsseitige Steigung 1, linksseitige Steigung -1
- 4Die beiden Grenzwerte sind verschieden, also existiert f'(0) nicht.
Merke: Stetig bedeutet nicht automatisch differenzierbar. Der Graph von |x| ist ohne Sprung verbunden, hat bei 0 aber eine Spitze mit zwei verschiedenen einseitigen Steigungen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Betragsfunktion
Bedeutung
|x| ist der Abstand von x zu 0 und nie negativ
Fallformel
|x| = x für x \ge 0, sonst |x| = -x
Graph
V-Form mit der Spitze in (0 \mid 0), achsensymmetrisch zur y-Achse
Äußerer Betrag
Teile unter der x-Achse werden nach oben gespiegelt
Gleichungen und Ungleichungen
|u| = b hat für b > 0 zwei Fälle, |u| \le b heißt -b \le u \le b
Analysis
stetig, aber bei 0 nicht differenzierbar
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
|2x - 4| \ge 6 lösen
- 1Mindestens 6 entfernt: 2x - 4 \le -6 oder 2x - 4 \ge 6
- 2Erster Fall: 2x \le -2, also x \le -1
- 3Zweiter Fall: 2x \ge 10, also x \ge 5
- 4Randprobe: |2 \cdot (-1) - 4| = |-6| = 6 und |2 \cdot 5 - 4| = |6| = 6
- 5Lösung: x \le -1 oder x \ge 5
Fehler finden
|2x - 1| = 7 lösen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3In Zeile 3 wurde das Minus nur auf 2x angewendet. Richtig ist -(2x - 1) = -2x + 1 = 7, also -2x = 6 und x = -3. Probe: |2 \cdot (-3) - 1| = |-7| = 7.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Der Graph von f(x) = |x| ist und achsensymmetrisch zur . Bei x = 0 ist die Funktion stetig, aber nicht .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback