Mathematik · Klasse 10–11 · aktualisiert
Lineares Wachstum erkennen und berechnen
Bei linearem Wachstum kommt pro Zeitschritt immer derselbe Betrag dazu. Du stellst die Funktion auf, berechnest Werte und Zeitpunkte und prüfst das Modell.
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Kurz gesagt
Lineares Wachstum liegt vor, wenn eine Größe in gleich langen Zeitabschnitten immer um denselben Betrag zunimmt. Du beschreibst es mit N(t)=N_0+a\cdot t: N_0 ist der Anfangswert, a die konstante Änderungsrate. Ist a negativ, heißt es lineare Abnahme. 30 € Start und 5 € pro Monat ergeben N(t)=30+5t.
Bei linearem Wachstum ändert sich eine Größe in gleich langen Zeitabschnitten immer um denselben Betrag. Ist dieser Betrag positiv, wächst die Größe; ist er negativ, liegt eine lineare Abnahme vor. Du lernst, solche Vorgänge zu erkennen, mit einer Funktion zu beschreiben und Werte oder Zeitpunkte zu berechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir eine Spardose vor: Zu Beginn liegen 30 Euro darin, und jeden Monat kommen 5 Euro hinzu. Die Zeitabstände sind gleich lang und der Bestand ändert sich jedes Mal um denselben absoluten Betrag. Genau das macht den Vorgang linear. Positive Änderungsrate: lineares Wachstum. Negative Änderungsrate: lineare Abnahme. Änderungsrate null: Der Wert bleibt konstant; es findet kein Wachstum und keine Abnahme statt.
Definition
Lineare Änderung
Eine Größe ändert sich linear, wenn bei gleichen Abständen der unabhängigen Variablen stets derselbe Betrag hinzukommt oder wegfällt. Die Änderungsrate gibt diese Änderung pro Schritt an. Der Graph ist eine Gerade.
Merke: „Immer 5 Euro mehr“ beschreibt eine konstante absolute Änderung. „Immer 5 Prozent mehr“ beschreibt dagegen keine lineare Änderung, weil der absolute Zuwachs vom jeweiligen Bestand abhängt.
Teste dich
Für eine lineare Änderung verwendest du N(t)=N_0+a\cdot t Das Vorzeichen gehört zur Änderungsrate: Bei einer Abnahme ist a negativ. Rechne vor dem Einsetzen alle Angaben in dieselben Einheiten um. Ein lineares Modell passt nur in einem Bereich, in dem die absolute Änderung ungefähr gleich bleibt. Prüfe deshalb: Sind die Zeitabstände gleich? Sind die Änderungen gleich oder fast gleich? Passen Anfangswert, Vorzeichen und Einheiten? Ist der Zeitraum sinnvoll? Bei quadratischem Wachstum ändert sich die Änderungsrate, der Graph ist dann eine Parabel statt einer Geraden.
| Zeichen | Bedeutung | typische Einheit |
|---|---|---|
| N(t) | Wert zum Zeitpunkt t | zum Beispiel Liter |
| N_0 | Anfangswert bei t=0 | zum Beispiel Liter |
| a | Änderung pro Zeiteinheit | zum Beispiel Liter pro Minute |
| t | Anzahl der Zeiteinheiten | zum Beispiel Minuten |
Beispiel: Hecke: 0{,}5\,\mathrm m hoch, 10\,\mathrm{cm} Zuwachs pro Jahr
- 1Einheiten angleichen: 10\,\mathrm{cm}=0{,}1\,\mathrm m
- 2Anfangswert: N_0=0{,}5\,\mathrm m
- 3Änderungsrate: a=0{,}1\,\mathrm m pro Jahr
- 4Modell: N(t)=0{,}5+0{,}1t mit t in Jahren und N(t) in Metern
Merke: Ein Baum wächst nicht über beliebig lange Zeit genau gleichmäßig. Ein lineares Modell beschreibt einen durchschnittlichen Zuwachs und gilt nur im sinnvoll gewählten Zeitraum.
Teste dich
Willst du den Wert zu einer bekannten Zeit bestimmen, setzt du t ein. Suchst du den Zeitpunkt für einen bekannten Zielwert, setzt du diesen für N(t) ein und löst nach t auf.
Beispiel: Schwimmbecken: 54.000\,\mathrm l, Zulauf 20\,\mathrm l pro Minute
- 1Das Becken ist anfangs leer: N(t)=20t mit t in Minuten
- 2Nach einer Stunde: N(60)=20\cdot60=1.200, also 1.200\,\mathrm l
- 3Voll: 54.000=20t
- 4t=\frac{54.000}{20}=2.700, also 2.700 Minuten
- 5Umrechnen: 2.700\,\mathrm{min}=45\,\mathrm h
Teste dich
Kennst du zwei Punkte (t_1\mid N_1) und (t_2\mid N_2), teilst du die Wertänderung durch die Änderung von t: a=\frac{N_2-N_1}{t_2-t_1} Der Nenner darf nicht null sein, denn die beiden Punkte müssen verschiedene t-Werte besitzen. Die explizite Formel N(t)=N_0+a\cdot t liefert jeden Wert direkt. Bei ganzen Zeitschritten kannst du denselben Vorgang rekursiv beschreiben: N(t+1)=N(t)+a Die rekursive Regel berechnet den nächsten Wert aus dem vorherigen. In einer Tabelle erkennst du Linearität daran, dass bei gleichen t-Abständen die Differenzen der Werte gleich sind.
Beispiel: Änderungsrate aus A(2{,}5\mid17{,}5) und B(5\mid25)
- 1\Delta t=5-2{,}5=2{,}5
- 2\Delta N=25-17{,}5=7{,}5
- 3a=\frac{7{,}5}{2{,}5}=3
- 4Der Wert nimmt pro Einheit von t um 3 zu. Rekursiv: N(t+1)=N(t)+3
Teste dich
Alles auf einen Blick
Lineares Wachstum
Erkennen
konstante absolute Änderung, Gerade
Beschreiben
Anfangswert N_0, Änderungsrate a, Funktion N(t)=N_0+a\cdot t
Berechnen
Zeit einsetzen oder Zielwert vorgeben
Darstellen
explizite Formel, rekursive Regel, Tabelle und Graph
Prüfen
Vorzeichen, Einheiten, konstante Rate und Geltungsbereich
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Schneedecke: 60\,\mathrm{cm} hoch, sie schmilzt um 4\,\mathrm{cm} pro Tag
- 1Anfangswert N_0=60\,\mathrm{cm}, Änderungsrate a=-4\,\mathrm{cm} pro Tag
- 2Modell: N(t)=60-4t mit t in Tagen
- 3Nach 5 Tagen: N(5)=60-4\cdot5=40, also 40\,\mathrm{cm}
- 4Wann ist die Decke 20 cm hoch? 20=60-4t
- 54t=40
- 6t=10, also nach 10 Tagen
- 7Ganz geschmolzen bei 0=60-4t, also t=15. Danach gilt das Modell nicht mehr.
Fehler finden
Ein Tank enthält 500\,\mathrm l Heizöl, täglich werden 25\,\mathrm l verbraucht. Wann sind noch 200\,\mathrm l übrig? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Der Vorrat nimmt ab, die Änderungsrate ist -25: N(t)=500-25t. Dann folgt 200=500-25t, also 25t=300 und t=12 Tage.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Klaus hat anfangs 30 Euro und spart monatlich 5 Euro. Der Anfangswert ist Euro, die Änderungsrate ist Euro pro Monat. Die Funktion lautet .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback