Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus, Tangens

In einem rechtwinkligen Dreieck hängen Gegenkathete und Ankathete davon ab, welchen spitzen Winkel du betrachtest. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel und ist die längste Seite. So wählst du die Funktion: Markiere den betrachteten Winkel. Benenne Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse relativ zu diesem Winkel. Suche das Verhältnis, das die bekannten und gesuchten Seiten enthält. Das Dreieck erklärt zunächst nur Winkel zwischen 0^\circ und 90^\circ. Der Einheitskreis erweitert die Winkelfunktionen auf beliebige reelle Winkel. Weil die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis nie kleiner als -1 oder größer als 1 werden, liegen Sinus und Kosinus stets im Wertebereich [-1;1]. Für Funktionsgraphen wird meist das Bogenmaß verwendet: Eine volle Umdrehung von 360^\circ entspricht 2\pi, eine halbe von 180^\circ entspricht \pi und eine Vierteldrehung von 90^\circ entspricht \frac{\pi}{2}. Nach einer vollen Umdrehung erreicht der Kreispunkt dieselbe Lage. Deshalb wiederholen sich Sinus und Kosinus nach 2\pi.

Eine Funktion ist periodisch, wenn sich ihre Funktionswerte nach einem festen Abstand wiederholen. Dieser kleinste positive Wiederholungsabstand heißt Periode. Sinus und Kosinus haben dieselbe Form: Der Kosinusgraph entsteht aus dem Sinusgraphen durch eine Verschiebung um \frac{\pi}{2} nach links. Für den Tangens gilt \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} Wo \cos(x)=0 ist, wäre der Nenner null: Dort hat der Tangens eine Definitionslücke. Der Graph nähert sich dort einer senkrechten Asymptote, erreicht sie aber nicht. Zwischen zwei benachbarten Lücken steigt er streng an. Zum Zeichnen wählst du passende x-Werte, berechnest die Wertepaare und setzt das Muster periodisch fort. Beim Tangens lässt du die Lücken frei und zeichnest dort die Asymptoten ein.

Periodische Vorgänge lassen sich häufig mit f(x)=a\cdot \sin(b(x-c))+d modellieren. Die Parameter haben unterschiedliche Aufgaben: |a| ist die Amplitude, also der größte Abstand von der Mittellinie. Ein negatives a spiegelt die Kurve zusätzlich. b bestimmt die Periode T=\frac{2\pi}{|b|}, sofern b\ne0. c verschiebt den Graphen waagerecht; bei dieser Schreibweise bedeutet ein positives c eine Verschiebung nach rechts. d verschiebt die Mittellinie auf y=d.

Die Arcusfunktionen kehren eine Winkelfunktion auf einem festgelegten Winkelbereich um: Arcussinus gehört zum Sinus. Arcuskosinus gehört zum Kosinus. Arcustangens gehört zum Tangens. Ein Taschenrechner schreibt dafür oft \sin^{-1}, \cos^{-1} oder \tan^{-1}. Das hochgestellte -1 bezeichnet hier die Umkehrfunktion und nicht den Kehrwert. Trigonometrische Funktionen sind periodisch. Daher können verschiedene Winkel denselben Funktionswert besitzen. Eine Arcusfunktion liefert nur deshalb ein eindeutiges Ergebnis, weil die ursprüngliche Winkelfunktion auf einen geeigneten Winkelbereich eingeschränkt wird.