Mathematik · Klasse 10–11 · aktualisiert
Kosinusfunktion: Graph, Eigenschaften und Parameter
Die Kosinusfunktion beschreibt die x-Koordinate am Einheitskreis. Du lernst ihren Graphen, die Wirkung der Parameter und ihre Ableitung kennen.
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Kurz gesagt
Die Kosinusfunktion f(x)=\cos x ordnet jedem Winkel x die x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis zu. Ihr Graph startet im Hochpunkt (0,1), ist achsensymmetrisch zur y-Achse und hat die Periode 2\pi. Die Nullstellen liegen bei x=\frac{\pi}{2}+k\pi, die Ableitung ist -\sin x.
Die Kosinusfunktion ordnet jedem Winkel x die x-Koordinate des zugehörigen Punktes auf dem Einheitskreis zu. Ihr Graph wiederholt sich regelmäßig zwischen -1 und 1. Du lernst, den Grundgraphen zu lesen, Nullstellen und Extrempunkte zu bestimmen und die Parameter einer transformierten Kosinusfunktion zu deuten.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Beim Einheitskreis beträgt der Radius 1. Ein Winkel x wird von der positiven x-Achse aus gemessen. Der zugehörige Kreispunkt hat die Koordinaten P=(\cos x,\sin x). Der Kosinuswert ist also die x-Koordinate. Deshalb liegt er bei reellen Winkeln immer zwischen -1 und 1. Funktionsgraphen verwenden gewöhnlich das Bogenmaß. Eine volle Umdrehung von 360^\circ entspricht im Bogenmaß 2\pi. Für die Umrechnung von Grad ins Bogenmaß gilt x_{\mathrm{rad}}=x_{\mathrm{grad}}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}.
Beispiel: 240^\circ am Einheitskreis
- 1Der Kreispunkt zu 240^\circ liegt links unten im Einheitskreis.
- 2Seine x-Koordinate ist -0{,}5, also \cos(240^\circ)=-0{,}5.
- 3Im Bogenmaß: 240^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{4\pi}{3}
Merke: Prüfe vor einer Taschenrechnerrechnung die Einstellung: DEG gehört zum Gradmaß, RAD zum Bogenmaß.
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Die Grundfunktion lautet f(x)=\cos x. Ihr Definitionsbereich ist D=\mathbb R: Du darfst jede reelle Zahl einsetzen. Der Wertebereich ist W=[-1,1]. In der Periode von 0 bis 2\pi verläuft der Graph von (0,1) über den Tiefpunkt (\pi,-1) zurück zu (2\pi,1). Danach wiederholt sich dieser Verlauf. Weil \cos(-x)=\cos x gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Für k\in\mathbb Z liegen die Nullstellen bei x=\frac{\pi}{2}+k\pi, die Hochpunkte bei (2k\pi,1) und die Tiefpunkte bei (\pi+2k\pi,-1).
Definition
Periode
Die Periode ist die kleinste positive Länge, nach der sich alle Funktionswerte wiederholen. Für die Kosinusfunktion beträgt sie 2\pi: \cos(x+2\pi)=\cos x.
Beispiel: Die Nullstelle mit dem Index k=5
- 1x_5=\frac{\pi}{2}+5\pi=\frac{11\pi}{2}
- 2Zwei aufeinanderfolgende Nullstellen liegen immer \pi auseinander.
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Eine transformierte Kosinusfunktion lässt sich übersichtlich so schreiben: g(x)=a\cos(b(x-c))+d, wobei b\neq0 gilt. |a| ist die Amplitude. Sie gibt den Abstand der Extremwerte von der Mittellinie an. Bei a<0 wird der Verlauf zusätzlich an der Mittellinie gespiegelt. b verändert die Periodenlänge. Es gilt p=\frac{2\pi}{|b|}. c verschiebt den Graphen waagerecht: c>0 bedeutet in dieser Schreibweise eine Verschiebung nach rechts. d verschiebt den Graphen senkrecht. Die neue Mittellinie ist y=d. Für a\neq0 ist der Wertebereich W=[d-|a|,d+|a|]. In der ebenfalls häufigen Form a\cos(bx+c)+d beträgt die horizontale Verschiebung -\frac{c}{b}. Das Vorzeichen von c allein reicht dort nicht aus. Im Beispiel unten siehst du eine Periode der Funktion: vom Hochpunkt bei x=\frac{\pi}{6} bis zum nächsten Hochpunkt bei x=\frac{5\pi}{6}. Die Stellen findest du über das innere Argument u=3\left(x-\frac{\pi}{6}\right), also x=\frac{\pi}{6}+\frac{u}{3}.
Beispiel: g(x)=5\cos\left(3\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right)+1 untersuchen
- 1a=5: Amplitude 5
- 2b=3: Periode p=\frac{2\pi}{3}
- 3c=\frac{\pi}{6}: um \frac{\pi}{6} nach rechts verschoben
- 4d=1: Mittellinie y=1
- 5Wertebereich: [1-5,1+5]=[-4,6]
| u | 0 | \frac{\pi}{2} | \pi | \frac{3\pi}{2} | 2\pi |
|---|---|---|---|---|---|
| x | \frac{\pi}{6} | \frac{\pi}{3} | \frac{\pi}{2} | \frac{2\pi}{3} | \frac{5\pi}{6} |
| g(x) | 6 | 1 | -4 | 1 | 6 |
Merke: Bestimme zuerst Amplitude, Periode, Verschiebung und Mittellinie. Übertrage danach die fünf charakteristischen Kosinuspunkte auf die neue Funktion.
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Für Ableitungen und Stammfunktionen wird das Bogenmaß verwendet. Die Grundableitungen lauten \frac{d}{dx}\sin x=\cos x und \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x. Die Ableitungen durchlaufen einen Viererzyklus: \cos x\;\rightarrow\;-\sin x\;\rightarrow\;-\cos x\;\rightarrow\;\sin x\;\rightarrow\;\cos x. Eine Stammfunktion von \cos x ist \sin x, denn die Ableitung von \sin x ist \cos x: \int\cos x\,dx=\sin x+C.
Merke: Beim Ableiten wird aus \cos x die Funktion -\sin x. Beim Integrieren wird aus \cos x die Funktion \sin x+C. Rechne im Bogenmaß.
Beispiel: f(x)=3\cos x ableiten und integrieren
- 1Ableitung: f'(x)=3\cdot(-\sin x)=-3\sin x
- 2Stammfunktion: F(x)=3\sin x+C
- 3Probe: F'(x)=3\cos x=f(x)
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Alles auf einen Blick
Kosinusfunktion
Einheitskreis
Der Kosinus ist die x-Koordinate; 360^\circ entsprechen 2\pi
Grundgraph
Wertebereich [-1,1], Periode 2\pi, achsensymmetrisch zur y-Achse
Besondere Stellen
Nullstellen bei \frac{\pi}{2}+k\pi, Hochpunkte (2k\pi,1), Tiefpunkte (\pi+2k\pi,-1)
Transformation
Amplitude |a|, Periode \frac{2\pi}{|b|}, Verschiebungen c und d
Analysis
Ableitung -\sin x, Stammfunktion \sin x+C
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
f(x)=3\cos(2x)+1 untersuchen
- 1Amplitude: |a|=3
- 2Periode: p=\frac{2\pi}{2}=\pi
- 3Mittellinie: y=1
- 4Wertebereich: [1-3,1+3]=[-2,4]
- 5Hochpunkt bei x=0: f(0)=3\cdot1+1=4
- 6Tiefpunkt bei x=\frac{\pi}{2}: f\left(\frac{\pi}{2}\right)=3\cdot(-1)+1=-2
Fehler finden
Periode von f(x)=2\cos(10x) bestimmen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Periode wurde mit b multipliziert statt durch b geteilt. Richtig ist p=\frac{2\pi}{10}=\frac{\pi}{5}: Der Graph wird gestaucht und wiederholt sich schneller.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Der Kosinuswert ist die des Punktes auf dem Einheitskreis. Die kleinste positive Periode der Kosinusfunktion ist . Wegen \cos(-x)=\cos x ist ihr Graph .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback