Sinusfunktion und Kosinusfunktion einfach erklärt

Stell dir einen Punkt P vor, der sich auf einem Kreis mit Radius 1 bewegt. Dieser Kreis heißt Einheitskreis. Der Winkel x wird von der positiven waagerechten Achse aus gemessen. Bei einer vollen Umdrehung kehrt der Punkt an seine Ausgangsstelle zurück. Deshalb wiederholen sich auch seine Koordinaten: \sin(x+2\pi)=\sin x \cos(x+2\pi)=\cos x Das Bogenmaß gibt Winkel durch die zugehörige Bogenlänge am Einheitskreis an. Die wichtigsten Umrechnungen sind: 2\pi=360^\circ,\qquad \pi=180^\circ,\qquad \frac{\pi}{2}=90^\circ

Die Grundfunktionen lauten f(x)=\sin x und g(x)=\cos x. Beide sind für alle reellen Zahlen definiert, D=\mathbb R, haben den Wertebereich W=[-1;1] und die Periodenlänge 2\pi. Der Sinus startet bei (0\mid 0) und steigt zunächst. Der Kosinus startet bei (0\mid 1) und fällt zunächst. Beide Kurven haben dieselbe Form, sind aber um eine Viertelperiode gegeneinander verschoben: \cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right),\qquad \sin x=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right) Die Nullstellen und Extremstellen stehen in der Tabelle. Dort ist k\in\mathbb Z eine beliebige ganze Zahl, damit auch alle Stellen links vom Ursprung erfasst sind. Symmetrie: Der Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung, \sin(-x)=-\sin x. Der Kosinus ist achsensymmetrisch zur senkrechten Achse, \cos(-x)=\cos x.

Eine gut lesbare Form für veränderte Sinus- und Kosinusfunktionen ist: f(x)=a\sin\bigl(b(x-c)\bigr)+d g(x)=a\cos\bigl(b(x-c)\bigr)+d Für a\ne0 und b\ne0 bedeuten die Parameter: |a| ist die Amplitude. Sie misst den Abstand von der Mittellinie zum höchsten oder tiefsten Wert. Bei a<0 wird die Kurve zusätzlich an ihrer Mittellinie gespiegelt. b bestimmt die Periodenlänge p. Es gilt p=\frac{2\pi}{|b|}. c verschiebt den Graphen waagerecht. Bei x-c erfolgt die Verschiebung um c nach rechts. d verschiebt den Graphen senkrecht. Die neue Mittellinie lautet y=d. Der Wertebereich ist: W=[d-|a|;\ d+|a|] In der Form a\sin(bx+c)+d ist die waagerechte Verschiebung nicht einfach c. Weil bx+c=b\left(x+\frac cb\right) gilt, beträgt sie -\frac cb. Prüfe deshalb zuerst, in welcher Form die Gleichung vorliegt.

Bei einem periodischen Vorgang wiederholt sich ein Zustand nach einer festen Zeit. Für ein Modell musst du vier Fragen beantworten: Wo liegt die Mittellinie? Wie groß ist der Ausschlag von der Mittellinie? Wie lange dauert eine vollständige Wiederholung? An welcher Stelle des Zyklus beginnt der Vorgang? Wie schnell sich der Wert ändert, beschreibt die Ableitung. Im Bogenmaß gilt (\sin x)'=\cos x und (\cos x)'=-\sin x; beim Ableiten entsteht der Viererzyklus \sin x\to\cos x\to-\sin x\to-\cos x\to\sin x. Für Stammfunktionen gilt \int\sin x\,dx=-\cos x+C und \int\cos x\,dx=\sin x+C. Bei einer verketteten Funktion kommt die innere Ableitung als Faktor dazu: Aus f(x)=2\sin(3x) wird f'(x)=2\cdot3\cos(3x)=6\cos(3x).