Mathematik · Klasse 11 · aktualisiert
Asymptoten erkennen und berechnen
Asymptoten zeigen, wohin ein Graph am Rand läuft. Du lernst, sie bei gebrochenrationalen Funktionen und Exponentialfunktionen zu bestimmen.
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Kurz gesagt
Eine Asymptote ist eine Gerade oder Kurve, der sich ein Graph am Rand beliebig nahe annähert. Senkrechte Asymptoten x = x_0 liegen an Polstellen, also an Nennernullstellen, die nach dem Kürzen übrig bleiben. Waagerechte, schiefe oder kurvenförmige findest du über Gradvergleich und Polynomdivision.
Der Graph von f(x) = \frac{1}{x} kommt der x-Achse immer näher, je größer x wird. Eine Asymptote ist eine Gerade oder Kurve, der sich ein Funktionsgraph so immer weiter annähert. Bei gebrochenrationalen Funktionen findest du sie durch Kürzen, Nennernullstellen, Gradvergleich und gegebenenfalls Polynomdivision.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Asymptote zeigt, wie sich ein Graph am Rand seines Definitionsbereichs verhält: für sehr große positive oder negative Werte von x oder in der Nähe einer Polstelle. Dass ein Graph eine Asymptote hat, heißt nicht, dass er sie nie berühren oder schneiden darf. Entscheidend ist nur, dass der Abstand am betrachteten Rand beliebig klein wird. Es gibt vier wichtige Arten.
Definition
Asymptote
Eine Asymptote ist eine Gerade oder Kurve, zu der der Abstand des Funktionsgraphen in einer bestimmten Richtung beliebig klein wird.
| Art | Gleichung | Beispiel |
|---|---|---|
| waagerecht | y = c | y = -\frac{2}{5} |
| senkrecht | x = x_0 | x = 0 |
| schief | y = mx + b mit m \neq 0 | y = x + 1 |
| kurvenförmig | nicht lineare Funktion, z. B. ein quadratisches Polynom | y = x^2 + x + 1 |
Teste dich
Senkrechte Asymptoten findest du an den Nullstellen des Nenners, aber nicht an jeder. Kürze deshalb zuerst alle gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner. Bleibt eine Nennernullstelle nach dem Kürzen erhalten, liegt dort eine Polstelle und damit eine senkrechte Asymptote. Verschwindet der Nennerfaktor beim Kürzen, liegt dort nur eine hebbare Definitionslücke: Der Graph hat an dieser Stelle ein Loch, läuft aber nicht ins Unendliche.
Beispiel: Polstelle und hebbare Lücke unterscheiden
- 1f(x) = \frac{2x^2 + 2x - 12}{6x^2 - 12x}
- 2Faktorisieren: f(x) = \frac{2(x + 3)(x - 2)}{6x(x - 2)}
- 3Für x \neq 2 kürzen: f(x) = \frac{x + 3}{3x}
- 4Bei x = 2: Der Faktor x - 2 ist weggekürzt, also hebbare Lücke.
- 5Bei x = 0: Der Faktor x bleibt im Nenner, also Polstelle.
- 6Senkrechte Asymptote: x = 0
Merke: Erst vollständig kürzen, dann die Nullstellen des Nenners suchen. Nur die Nennernullstellen, die übrig bleiben, sind Polstellen.
Teste dich
Eine gebrochenrationale Funktion hat die Form f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)} mit Polynomen Z(x) und N(x). Ihr Grad ist jeweils die höchste vorkommende Potenz von x. Vergleiche zuerst die Grade. Sind sie gleich, zählen nur die Koeffizienten vor den höchsten Potenzen: Du teilst den Leitkoeffizienten des Zählers durch den des Nenners. Ist der Zählergrad größer, teilst du den Zähler durch den Nenner (Polynomdivision) und erhältst f(x) = A(x) + R(x). Geht der Restterm R(x) für x \to \pm\infty gegen 0, ist y = A(x) die Asymptote: schief, wenn A(x) den Grad 1 hat, sonst kurvenförmig. So ist \frac{x^3 + 1}{x - 1} = x^2 + x + 1 + \frac{2}{x - 1}, die Asymptote ist die Parabel y = x^2 + x + 1.
| Grade | Verhalten für große Beträge von x | Asymptote |
|---|---|---|
| \deg Z < \deg N | Der Bruch geht gegen 0. | y = 0 |
| \deg Z = \deg N | Die Leitkoeffizienten bestimmen den Grenzwert. | waagerecht |
| \deg Z = \deg N + 1 | Polynomdivision liefert eine lineare Funktion. | schief |
| \deg Z > \deg N + 1 | Polynomdivision liefert ein Polynom höheren Grades. | kurvenförmig |
Beispiel: Gleiche Grade: waagerechte Asymptote
- 1f(x) = \frac{x^2 - 2x^3 + 9}{5x^3 + 4x^2 - 1}
- 2Zähler und Nenner haben beide den Grad 3.
- 3Leitkoeffizienten: -2 im Zähler, 5 im Nenner
- 4Waagerechte Asymptote: y = -\frac{2}{5}
Beispiel: Zählergrad um 1 größer: schiefe Asymptote
- 1f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}
- 2Polynomdivision: f(x) = x + 1 + \frac{2}{x - 1}
- 3Für x \to \pm\infty geht \frac{2}{x - 1} gegen 0.
- 4Schiefe Asymptote: y = x + 1
Teste dich
Bei Exponentialfunktionen gibt es keinen Gradvergleich. Du untersuchst die Grenzwerte für x \to +\infty und x \to -\infty getrennt. Ein endlicher Grenzwert c ergibt auf dieser Seite die waagerechte Asymptote y = c. Eine Asymptote kann also auch nur auf einer Seite auftreten.
Beispiel: Asymptote von f(x) = x^2 e^{2x + 1} + 2
- 1Für x \to +\infty wächst f(x) ohne Grenze: dort keine Asymptote.
- 2Für x \to -\infty geht e^{2x + 1} so stark gegen 0, dass auch x^2 e^{2x + 1} gegen 0 geht.
- 3Also gilt f(x) \to 2 für x \to -\infty.
- 4Waagerechte Asymptote für x \to -\infty: y = 2
Merke: Prüfe die Richtungen x \to +\infty und x \to -\infty einzeln. Jeder endliche Grenzwert c liefert auf seiner Seite die Asymptote y = c.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Asymptote
Zuerst
gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner kürzen
Senkrecht
verbleibende Nennernullstellen sind Polstellen
Waagerecht
Zählergrad kleiner oder gleich dem Nennergrad
Schief oder kurvenförmig
Polynomdivision bei größerem Zählergrad
Exponentialfunktionen
ein endlicher Grenzwert c ergibt y = c
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Alle Asymptoten von f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 1}
- 1Faktorisieren: f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}
- 2Für x \neq -1 kürzen: f(x) = \frac{x - 2}{x - 1}
- 3Bei x = -1: Faktor weggekürzt, also hebbare Definitionslücke
- 4Bei x = 1: Nenner bleibt 0, Zähler 1 - 2 = -1, also Polstelle
- 5Senkrechte Asymptote: x = 1
- 6Gleiche Grade, Leitkoeffizienten 1 und 1: waagerechte Asymptote y = 1
Fehler finden
Asymptoten von f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 4} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Vor der Suche nach Polstellen muss gekürzt werden: f(x) = \frac{x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x}{x - 2} für x \neq -2. Bei x = -2 liegt nur eine hebbare Lücke. Richtig: Die einzige senkrechte Asymptote ist x = 2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Senkrechte Asymptoten liegen an , die nach dem Kürzen übrig bleiben. Sind Zählergrad und Nennergrad gleich, ist die Asymptote . Ist der Zählergrad um eins größer, liefert die Polynomdivision eine Asymptote.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback