Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Kugelvolumen berechnen: Formel und Beispiele
Das Kugelvolumen hängt nur vom Radius ab. Du lernst die Formel, rechnest mit Radius oder Durchmesser, rückwärts zum Radius und für die Halbkugel.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Das Volumen einer Kugel berechnest du mit V=\frac{4}{3}\pi r^3, wobei r der Radius ist. Eine Kugel mit r=10\,\mathrm{cm} hat also V=\frac{4000}{3}\pi\,\mathrm{cm}^3\approx4188{,}8\,\mathrm{cm}^3. Ist der Durchmesser gegeben, halbierst du ihn zuerst.
Das Volumen einer Kugel mit Radius r berechnest du mit V=\frac{4}{3}\pi r^3. Du setzt den Radius in der dritten Potenz ein und gibst das Ergebnis in einer Kubikeinheit wie \mathrm{cm}^3 an.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Kugel ist ein räumlicher Körper. Ihr Radius r ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche. Das Volumen V gibt an, wie viel Raum die Kugel einnimmt. Die dritte Potenz passt zur räumlichen Größe: Wird der Radius mit einem Faktor vervielfacht, wächst das Volumen mit der dritten Potenz dieses Faktors. Beim doppelten Radius wird das Volumen also 2^3=8-mal so groß.
Definition
Kugelvolumen
Für eine Kugel mit Radius r gilt: V=\frac{4}{3}\pi r^3 Dabei ist \pi\approx 3{,}1416. Der Term r^3 bedeutet r\cdot r\cdot r.
Merke: Länge wird in \mathrm{cm}, Fläche in \mathrm{cm}^2 und Volumen in \mathrm{cm}^3 angegeben. Bei einer Kugelvolumen-Aufgabe brauchst du eine Kubikeinheit.
Teste dich
Gehe in vier Schritten vor: Prüfe, ob Radius oder Durchmesser gegeben ist. Der Durchmesser d ist doppelt so lang wie der Radius, also gilt r=\frac d2. Setze den Radius mit seiner Einheit in V=\frac43\pi r^3 ein. Runde erst am Ende und notiere eine Kubikeinheit. Setze Zahl und Einheit gemeinsam in Klammern: (7\,\mathrm{cm})^3=343\,\mathrm{cm}^3. So vermeidest du, nur die Zahl zu potenzieren. Willst du direkt mit dem Durchmesser rechnen, setzt du r=\frac d2 ein: V=\frac43\pi\left(\frac d2\right)^3=\frac16\pi d^3.
Beispiel: Kugel mit r=7\,\mathrm{cm}
- 1V=\frac{4}{3}\pi\cdot(7\,\mathrm{cm})^3
- 2Kubieren: V=\frac{4}{3}\pi\cdot343\,\mathrm{cm}^3=\frac{1372}{3}\pi\,\mathrm{cm}^3
- 3Erst jetzt runden: V\approx1436{,}8\,\mathrm{cm}^3
- 4Überschlag: \frac{4}{3}\pi\approx4{,}19 und 4{,}19\cdot343\approx1437
Beispiel: Kugel mit d=16\,\mathrm{cm}
- 1Radius: r=16\,\mathrm{cm}:2=8\,\mathrm{cm}
- 2V=\frac{4}{3}\pi\cdot(8\,\mathrm{cm})^3=\frac{2048}{3}\pi\,\mathrm{cm}^3
- 3V\approx2144{,}7\,\mathrm{cm}^3
Teste dich
Ist das Volumen gegeben, musst du die Volumenformel nach r auflösen. Entferne zuerst den Faktor \frac43\pi und ziehe danach die Kubikwurzel: V=\frac43\pi r^3 r^3=\frac{3V}{4\pi} r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}
Beispiel: Radius aus V=972\pi\,\mathrm{cm}^3
- 1r=\sqrt[3]{\frac{3\cdot972\pi\,\mathrm{cm}^3}{4\pi}}
- 2\pi kürzen: r=\sqrt[3]{729\,\mathrm{cm}^3}=9\,\mathrm{cm}
- 3Probe: \frac{4}{3}\pi\cdot(9\,\mathrm{cm})^3=972\pi\,\mathrm{cm}^3
Merke: Beim Rückwärtsrechnen brauchst du die Kubikwurzel, nicht die Quadratwurzel. Sie macht die dritte Potenz rückgängig.
Teste dich
Eine Halbkugel mit demselben Radius besitzt genau die Hälfte des Kugelvolumens: V_{\text{Halbkugel}}=\frac12\cdot\frac43\pi r^3=\frac23\pi r^3 Warum steht in der Formel \frac43? Eine Halbkugel lässt sich mit einem Vergleichskörper untersuchen: Aus einem Zylinder mit Radius und Höhe r wird ein Kegel mit derselben Grundfläche und Höhe entfernt. In jeder Höhe sind die Querschnittsflächen des Restkörpers und der Halbkugel gleich groß. Nach dem Satz von Cavalieri haben beide Körper deshalb dasselbe Volumen. Für den Restkörper gilt: V_{\text{Rest}}=\pi r^2\cdot r-\frac13\pi r^2\cdot r=\frac23\pi r^3 Das ist das Volumen der Halbkugel. Durch Verdoppeln erhältst du für die ganze Kugel V=\frac43\pi r^3.
Beispiel: Halbkugel mit r=9\,\mathrm{cm}
- 1V_{\text{Halbkugel}}=\frac{2}{3}\pi\cdot(9\,\mathrm{cm})^3=486\pi\,\mathrm{cm}^3
- 2486\pi\,\mathrm{cm}^3\approx1526{,}8\,\mathrm{cm}^3
- 3Das ist die Hälfte des Vollkugelvolumens 972\pi\,\mathrm{cm}^3.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Volumen Kugel
Formel
V=\frac43\pi r^3, Ergebnis in einer Kubikeinheit
Durchmesser
zuerst halbieren, r=\frac d2
Rückwärts
r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}} mit der Kubikwurzel
Radiusfaktor
doppelter Radius, achtfaches Volumen
Halbkugel
V=\frac23\pi r^3, das halbe Kugelvolumen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wie viel Luft steckt in einem Fußball mit d=22\,\mathrm{cm}?
- 1Radius: r=22\,\mathrm{cm}:2=11\,\mathrm{cm}
- 2V=\frac{4}{3}\pi\cdot(11\,\mathrm{cm})^3=\frac{4}{3}\pi\cdot1331\,\mathrm{cm}^3
- 3V=\frac{5324}{3}\pi\,\mathrm{cm}^3\approx5575\,\mathrm{cm}^3
- 45575\,\mathrm{cm}^3=5{,}575\,\mathrm{l}\approx5{,}6\,\mathrm{l}
- 5Im Ball stecken etwa 5,6 Liter Luft.
Fehler finden
Volumen einer Kugel mit r=1{,}5\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Hoch 3 heißt nicht mal 3: (1{,}5\,\mathrm{cm})^3=1{,}5\cdot1{,}5\cdot1{,}5\,\mathrm{cm}^3=3{,}375\,\mathrm{cm}^3. Richtig: V=\frac{4}{3}\pi\cdot3{,}375\,\mathrm{cm}^3=4{,}5\pi\,\mathrm{cm}^3\approx14{,}1\,\mathrm{cm}^3.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Kugelvolumen steht der Radius in der Potenz. Ist der Durchmesser gegeben, wird er zuerst . Beim Rückwärtsrechnen ziehst du die .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback