Mathematik · Klasse 6–7 · aktualisiert
Vorzeichenregeln: Multiplizieren und Dividieren
Du lernst, welches Vorzeichen ein Produkt oder Quotient bekommt, was bei der Null gilt und warum Minus mal Minus Plus ergibt.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Vorzeichenregeln sagen: Beim Multiplizieren und Dividieren ergeben gleiche Vorzeichen Plus, unterschiedliche Minus. So ist (-8) \cdot (-3) = 24 und 24 : (-6) = -4. Bei mehreren Faktoren zählst du die negativen: gerade Anzahl Plus, ungerade Anzahl Minus.
Bei Multiplikation und Division gilt: Gleiche Vorzeichen ergeben Plus, unterschiedliche Vorzeichen ergeben Minus. Enthält ein Produkt mehrere negative Faktoren, entscheidet ihre Anzahl über das Vorzeichen. Der Nullfall wird gesondert behandelt.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Das Zeichen vor einer Zahl ist ihr Vorzeichen. In -5 zeigt das Minuszeichen, dass die Zahl negativ ist. Ein Pluszeichen zeigt eine positive Zahl an, wird aber meistens weggelassen: +5=5. Ein Zeichen zwischen zwei Zahlen kann dagegen eine Rechenoperation bezeichnen. In 8-5 bedeutet das Minus: Subtrahiere 5. Klammern machen die Rollen der Zeichen deutlich: In 4-(-3) ist das erste Minus ein Subtraktionszeichen. Das zweite Minus gehört als Vorzeichen zur Zahl -3.
Definition
Vorzeichen
Ein Vorzeichen zeigt, ob eine Zahl positiv oder negativ ist. Die Zahl 0 ist weder positiv noch negativ und hat deshalb kein Vorzeichen.
Merke: Die Regel „gleich ergibt Plus, verschieden ergibt Minus“ gilt hier für Multiplikation und Division. Bei einer Addition oder Subtraktion darfst du sie nicht einfach auf das Ergebnis übertragen.
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Bei einer Multiplikation bestimmst du zunächst das Vorzeichen und rechnest danach mit den Zahlen ohne Vorzeichen. Bei 5\cdot(-4) sind die Vorzeichen unterschiedlich. Deshalb ist das Produkt negativ: 5\cdot(-4)=-20 Bei einem Produkt mit mehreren Faktoren kannst du die negativen Faktoren zählen: Eine gerade Anzahl negativer Faktoren ergibt ein positives Produkt. Eine ungerade Anzahl negativer Faktoren ergibt ein negatives Produkt. Rechne dann mit den Zahlen ohne Vorzeichen und setze beides zusammen.
| Vorzeichen der Faktoren | Vorzeichen des Produkts |
|---|---|
| Plus · Plus | Plus |
| Minus · Minus | Plus |
| Plus · Minus | Minus |
| Minus · Plus | Minus |
Beispiel: Berechne (-2)\cdot3\cdot(-4).
- 1Es gibt zwei negative Faktoren: -2 und -4.
- 2Zwei ist gerade. Das Produkt ist also positiv.
- 3Ohne Vorzeichen rechnest du 2\cdot3\cdot4=24.
- 4Damit gilt (-2)\cdot3\cdot(-4)=24.
Beispiel: Berechne (-3)\cdot3\cdot(-3)\cdot(-2).
- 1Negative Faktoren: -3, -3 und -2, also drei
- 2Drei ist ungerade: Das Ergebnis ist negativ.
- 3Ohne Vorzeichen: 3\cdot3\cdot3\cdot2=54
- 4(-3)\cdot3\cdot(-3)\cdot(-2)=-54
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Für die Division gelten dieselben Vorzeichenregeln wie für die Multiplikation: Gleiche Vorzeichen ergeben einen positiven Quotienten, unterschiedliche einen negativen. Bei 24:(-6) sind die Vorzeichen unterschiedlich. Deshalb gilt 24:(-6)=-4. Durch 0 darfst du nicht dividieren. Ein Ausdruck wie 8:0 ist nicht definiert. Bei einer Multiplikation mit 0 gilt dagegen immer a\cdot0=0 und 0\cdot a=0. Die Zählregel für negative Faktoren darf den Nullfall nicht verdecken: Enthält ein Produkt den Faktor 0, ist das Ergebnis 0, egal welche Vorzeichen die übrigen Faktoren haben.
Beispiel: Berechne (-24):(-6).
- 1Die Vorzeichen sind gleich. Der Quotient ist positiv.
- 2Ohne Vorzeichen rechnest du 24:6=4.
- 3Also gilt (-24):(-6)=4.
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Die Regel lässt sich mit dem Distributivgesetz begründen. Es erlaubt, einen Faktor auf eine Summe zu verteilen: a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c Setze a=-2, b=3 und c=-3 ein: (-2)\cdot(3+(-3))=(-2)\cdot3+(-2)\cdot(-3) In der linken Klammer steht 3+(-3)=0. Daher ist die linke Seite (-2)\cdot0=0: 0=-6+(-2)\cdot(-3) Damit die rechte Seite ebenfalls 0 ergibt, muss das zweite Produkt +6 sein: (-2)\cdot(-3)=6
Merke: Minus mal Minus ist nicht nur eine Merkregel. Das positive Ergebnis sorgt dafür, dass das Distributivgesetz auch bei negativen Zahlen gilt.
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Alles auf einen Blick
Vorzeichenregeln
Vorzeichen
gehört zur Zahl, Rechenzeichen verbindet zwei Zahlen
Gleiche Vorzeichen
Produkt und Quotient sind positiv
Verschiedene Vorzeichen
Produkt und Quotient sind negativ
Mehrere Faktoren
negative zählen, gerade Anzahl gibt Plus
Null
ein Faktor 0 macht das Produkt 0, durch 0 teilen geht nicht
Begründung
das Distributivgesetz erzwingt Minus mal Minus gleich Plus
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Berechne (-6)\cdot4:(-8)
- 1Negative Zahlen: -6 und -8, also zwei
- 2Zwei ist gerade: Das Ergebnis ist positiv.
- 3Ohne Vorzeichen: 6\cdot4=24 und 24:8=3
- 4(-6)\cdot4:(-8)=3
Fehler finden
Berechne (-4)\cdot(-2)\cdot(-5) In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Plus mal Minus ergibt Minus. Richtig ist 8\cdot(-5)=-40, denn das Produkt hat drei negative Faktoren.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei (-3)\cdot(-4) haben beide Faktoren Vorzeichen, das Produkt ist also . Eine Division durch 0 ist .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback