Mathematik · Klasse 6–8 · aktualisiert
Grundfläche erkennen, berechnen und nutzen
Die Grundfläche trägt einen Körper. Du lernst, sie zu erkennen, ihren Inhalt G zu berechnen und damit Volumen auszurechnen.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Grundfläche ist eine ausgezeichnete Begrenzungsfläche eines Körpers, ihr Flächeninhalt heißt G. Mit der senkrechten Höhe h berechnest du das Volumen: V = G \cdot h bei Prisma und Zylinder, V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h bei Pyramide und Kegel.
Die Grundfläche ist eine besondere Begrenzungsfläche eines Körpers. Ihr Flächeninhalt heißt meist G. Zusammen mit der senkrechten Höhe h brauchst du ihn, um das Volumen von Prismen, Zylindern, Pyramiden und Kegeln zu berechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Körper wird von Flächen begrenzt. Eine davon heißt Grundfläche. Anschaulich ist das oft die Fläche, auf der der Körper steht. Die Bezeichnung hängt aber nicht von der Lage im Raum ab. Ein Prisma oder Zylinder hat zwei parallele, gleiche Flächen: Grundfläche und Deckfläche. Ihre Namen darfst du vertauschen. Eine Pyramide oder ein Kegel hat nur eine Grundfläche und eine Spitze. Die übrigen Seitenflächen bilden zusammen die Mantelfläche. Alle Begrenzungsflächen zusammen sind die Oberfläche. Die Grundfläche ist also nur ein Teil der Oberfläche.
Definition
Grundfläche
Die Grundfläche ist eine bestimmte Begrenzungsfläche eines Körpers. Der Buchstabe G bezeichnet ihren Flächeninhalt, also ihre Größe in einer Flächeneinheit wie cm².
Merke: Die Grundfläche ist eine Fläche des Körpers, G ist ihr Flächeninhalt. Verwechsle die Figur nicht mit ihrer messbaren Größe.
Teste dich
Zuerst erkennst du die ebene Figur, die die Grundfläche bildet. Dann nutzt du ihre Flächenformel. Das Ergebnis hat immer eine quadratische Einheit, zum Beispiel cm² oder m². Beim Dreieck und Parallelogramm steht h_g für die Höhe zur Grundseite g. Grundseite und Höhe stehen senkrecht aufeinander.
| Form der Grundfläche | Flächeninhalt G |
|---|---|
| Rechteck | G = a \cdot b |
| Quadrat | G = a^2 |
| Dreieck | G = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g |
| Parallelogramm | G = g \cdot h_g |
| Trapez | G = \frac{(a + c) \cdot h}{2} |
| Kreis | G = \pi \cdot r^2 |
Beispiel: Rechteckige Grundfläche, 6 cm und 4 cm
- 1Die Grundfläche ist ein Rechteck: G = a \cdot b
- 2G = 6 cm · 4 cm = 24 cm²
- 3Die Einheit ist cm², weil eine Fläche berechnet wurde.
Teste dich
Die Körperhöhe h ist die Ausdehnung senkrecht zur Grundfläche. Bei einem schiefen Körper zählt deshalb nicht eine schräge Kante, sondern der senkrechte Abstand. Für Prismen und Zylinder gilt V = G \cdot h. Für Pyramiden und Kegel gilt V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h. Eine Pyramide oder ein Kegel mit derselben Grundfläche und Höhe hat also ein Drittel des Volumens des passenden Prismas oder Zylinders.
Beispiel: G = 24 cm² und h = 5 cm
- 1Prisma: V = 24 cm² · 5 cm = 120 cm³
- 2Pyramide: V = 13 · 24 cm² · 5 cm = 40 cm³
- 3Die Einheit ist cm³, weil ein Rauminhalt berechnet wurde.
Merke: Der Faktor 13 gehört nur zu Pyramide und Kegel. Prisma und Zylinder rechnest du mit V = G \cdot h.
Teste dich
Arbeite in einer festen Reihenfolge. Bestimme den Körper: Hat er Grund- und Deckfläche oder Grundfläche und Spitze? Erkenne die Form der Grundfläche: Rechteck, Dreieck, Kreis? Berechne G mit der passenden Flächenformel. Bestimme die senkrechte Höhe h, nie eine schräge Kante. Wähle die Volumenformel und rechne. Prüfe die Einheit: Ein Flächeninhalt hat eine quadratische, ein Volumen eine kubische Einheit.
Merke: Erst die Form der Grundfläche erkennen, dann G berechnen und erst danach die passende Körperformel verwenden.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Grundfläche
Grundfläche
besondere Begrenzungsfläche, ihr Flächeninhalt heißt G
Flächen
Deckfläche, Mantelfläche und Oberfläche unterscheiden
G berechnen
Flächenformel der Figur, Ergebnis in cm² oder m²
Höhe
immer der senkrechte Abstand, nie eine schräge Kante
Prisma und Zylinder
V = G \cdot h
Pyramide und Kegel
V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Volumen eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche
- 1Grundfläche: Dreieck mit Grundseite 6 cm und Höhe 4 cm
- 2G = 12 · 6 cm · 4 cm = 12 cm²
- 3Körperhöhe senkrecht zur Grundfläche: h = 9 cm
- 4V = G · h = 12 cm² · 9 cm = 108 cm³
Fehler finden
Volumen einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Bei einer Pyramide fehlt der Faktor 13. Richtig ist V = 13 · 36 m² · 5 m = 60 m³.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
G steht für den der Grundfläche. Die Körperhöhe steht auf der Grundfläche. Bei Pyramide und Kegel kommt der Faktor dazu.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback