Verhältnisse berechnen und Mengen aufteilen

Ein Verhältnis beantwortet immer eine genaue Frage: Welche Größe wird mit welcher anderen Größe verglichen? In einer Gruppe sind 12 Mädchen und 4 Jungen. Dann gilt für Mädchen zu Jungen 12:4=3:1, für Jungen zu Mädchen aber 4:12=1:3. Die beiden Ergebnisse beschreiben verschiedene Vergleiche. Deshalb darfst du die Reihenfolge nicht danach wählen, welche Zahl größer ist. Schreib am besten zuerst die Bezeichnungen hin, zum Beispiel „rot : blau“, und setze erst danach die Zahlen ein. Achte bei Größen mit unterschiedlichen Einheiten zuerst auf die Umrechnung. Aus 0{,}5\,\mathrm{kg} Mehl und 100\,\mathrm{g} Butter wird: 0{,}5\,\mathrm{kg}=500\,\mathrm{g} Damit ist das Verhältnis Mehl zu Butter: 500:100=5:1

Verhältnisse funktionieren beim Kürzen und Erweitern ähnlich wie Brüche. Teilst oder multiplizierst du alle Glieder mit derselben von null verschiedenen Zahl, bleibt der Vergleich gleich. 15:10=3:2 Denn beide Glieder wurden durch 5 geteilt. Umgekehrt kannst du 3:2 mit 4 skalieren: 3:2=(3\cdot4):(2\cdot4)=12:8 Die Verhältnisse 3:2 und 12:8 sind gleichwertig. Die konkreten Mengen sind unterschiedlich, aber der Vergleich ist derselbe. Ein typischer Fehler ist, nur ein Glied zu verändern. Aus 2:3 wird durch Verdoppeln nicht 4:3, sondern 4:6. Manchmal kennst du das Verhältnis und eine der beiden Mengen. Dann bestimmst du den Skalierungsfaktor an der bekannten Stelle und wendest ihn auf alle Glieder an. Diese Methode ist sicherer, als nur auf Schlüsselwörter zu achten: Ordne zuerst jedes Verhältnisglied eindeutig einer Größe zu. Prüfe danach, mit welchem Faktor die bekannte Menge entstanden ist.

Dasselbe Beispiel kann zu verschiedenen Verhältnissen führen. Entscheidend ist, welche Größen die Frage nennt. Von 45 Kugeln sind 20 rot und 25 blau. Rot zu blau ist 20:25=4:5, rot zu allen 20:45=4:9 und blau zu allen 25:45=5:9. Ein Teil-zu-Teil-Verhältnis vergleicht zwei Gruppen miteinander. Ein Teil-zu-Ganzem-Verhältnis vergleicht eine Gruppe mit der Gesamtmenge. Bei einem Teil-zu-Teil-Verhältnis a:b besteht das Ganze aus a+b Verhältnisanteilen. Der erste Teil umfasst deshalb den Anteil \frac{a}{a+b} des Ganzen, der zweite den Anteil \frac{b}{a+b}. Aus Mädchen zu Jungen =3:1 folgt daher: Der Mädchenanteil am Ganzen ist \frac{3}{3+1}=\frac34, der Jungenanteil \frac{1}{3+1}=\frac14.

Du möchtest 10\,000\,€ im Verhältnis 2:3 auf zwei Gruppen verteilen. Die Zahlen 2 und 3 sind zunächst keine Eurobeträge, sondern Anzahlen gleich großer Verhältnisanteile. Gehe in drei Schritten vor: Addiere die Verhältnisglieder. Teile die Gesamtmenge durch diese Summe. So erhältst du den Wert eines Anteils. Multipliziere den Anteilswert mit den einzelnen Verhältnisgliedern. Allgemein gilt für das Verhältnis a:b und die Gesamtmenge G: k=\frac{G}{a+b} Dabei ist k der Wert eines Verhältnisanteils. Die Einzelmengen sind dann: A=a\cdot k \qquad\text{und}\qquad B=b\cdot k Das Verfahren funktioniert auch mit mehr als zwei Gruppen. Lies die Verhältnisglieder dabei nicht als fertige Mengen: Bei 2:3 gibt es zunächst nur fünf gleich große Anteile, deren Wert du erst berechnest.