Mathematik · Klasse 6–7 · aktualisiert
Winkelsumme im Dreieck: Winkel berechnen
Die drei Innenwinkel eines Dreiecks ergeben immer 180°. Du lernst, warum das so ist und wie du damit einen fehlenden Winkel berechnest.
0 von 9 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt immer 180^\circ: \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ. Kennst du zwei Winkel, ziehst du beide von 180^\circ ab, zum Beispiel \gamma = 180^\circ - 68^\circ - 47^\circ = 65^\circ. Das gilt für jedes Dreieck in der Ebene.
In jedem ebenen Dreieck mit geraden Seiten ergeben die drei Innenwinkel zusammen genau 180^\circ. Kennst du zwei Winkel, kannst du deshalb den dritten berechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Dreieck besitzt drei Eckpunkte A, B und C. Die zugehörigen Innenwinkel heißen meist \alpha, \beta und \gamma. Ein Winkel von 180^\circ heißt gestreckter Winkel. Seine Schenkel bilden zusammen eine gerade Linie.
Definition
Innenwinkelsumme
Die Innenwinkelsumme ist die Summe aller Winkel im Inneren einer Figur. Für ein ebenes Dreieck mit geraden Seiten gilt: \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ
Beispiel: Passen 45^\circ, 75^\circ und 60^\circ zu einem Dreieck?
- 145^\circ + 75^\circ + 60^\circ = 180^\circ
- 2Die Summe stimmt: Die drei Winkel können die Innenwinkel eines Dreiecks sein.
Teste dich
Du kannst den Zusammenhang zunächst mit einem Papierdreieck untersuchen: Trenne die drei Ecken ab und lege ihre Spitzen nebeneinander. Die Winkel füllen gemeinsam eine gerade Linie aus. Eine geometrische Begründung nutzt eine Hilfsgerade: Denke dir durch eine Dreiecksspitze eine Gerade, die parallel zur gegenüberliegenden Seite verläuft. Die beiden anderen Innenwinkel lassen sich mithilfe der Winkelbeziehungen an parallelen Geraden an die Spitze übertragen. Dort liegen die drei gleich großen Winkel nebeneinander auf einer Geraden. Ein gestreckter Winkel misst 180^\circ. Daher gilt \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ. Die Aussage gilt für Dreiecke in der Ebene, deren Seiten gerade Strecken sind. Auf gekrümmten Flächen kann die Winkelsumme von 180^\circ abweichen.
Beispiel: Begründung mit einer Parallelen durch C
- 1Zeichne durch C die Parallele zur Seite AB.
- 2\alpha erscheint an C als Wechselwinkel wieder.
- 3\beta erscheint an C ebenfalls als Wechselwinkel.
- 4An C liegen nun \alpha, \gamma und \beta nebeneinander auf der Geraden: zusammen 180^\circ.
Teste dich
Sind zwei Innenwinkel bekannt, ziehst du beide von 180^\circ ab.
Merke: Für den fehlenden Winkel \gamma gilt: \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta Entsprechend kannst du auch \alpha oder \beta berechnen.
Beispiel: Gegeben: \alpha = 68^\circ, \beta = 47^\circ. Gesucht: \gamma
- 1\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ
- 2\gamma = 180^\circ - 68^\circ - 47^\circ
- 3\gamma = 65^\circ
- 4Probe: 68^\circ + 47^\circ + 65^\circ = 180^\circ
Teste dich
Ein berechneter Innenwinkel muss größer als 0^\circ sein. Außerdem müssen alle drei Winkel zusammen genau 180^\circ ergeben. Typische Fehler kannst du so vermeiden: Nur einen Winkel abziehen: Ziehe immer beide bekannten Winkel von 180^\circ ab. Mit 360^\circ rechnen: Ein voller Winkel hat 360^\circ, die Innenwinkelsumme eines Dreiecks aber 180^\circ. Die Probe auslassen: Addiere am Ende alle drei Innenwinkel. Ein Ergebnis von 0^\circ oder weniger akzeptieren: Ein Innenwinkel eines Dreiecks muss größer als 0^\circ sein.
Beispiel: Gegeben: \alpha = 112^\circ, \beta = 31^\circ
- 1\gamma = 180^\circ - 112^\circ - 31^\circ = 37^\circ
- 237^\circ > 0^\circ: Der Wert ist gültig.
- 3Probe: 112^\circ + 31^\circ + 37^\circ = 180^\circ
Teste dich
Alles auf einen Blick
Winkelsumme im Dreieck
Satz
Drei Innenwinkel ergeben 180^\circ
Begründung
An einer Parallelen entsteht ein gestreckter Winkel
Berechnung
Beide bekannten Winkel von 180^\circ abziehen
Probe
Drei Winkel addieren und Ergebnis auf Positivität prüfen
Geltungsbereich
Ebene Dreiecke mit geraden Seiten
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Gleichschenkliges Dreieck: Der Winkel an der Spitze misst 40^\circ
- 1Die beiden Basiswinkel sind gleich groß, jeder heißt x.
- 2x + x + 40^\circ = 180^\circ
- 32x = 140^\circ
- 4x = 70^\circ
- 5Probe: 70^\circ + 70^\circ + 40^\circ = 180^\circ
Fehler finden
Gegeben: \alpha = 50^\circ, \beta = 60^\circ. Gesucht: \gamma In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Beide bekannten Winkel müssen abgezogen werden: \gamma = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ. Probe: 50^\circ + 60^\circ + 70^\circ = 180^\circ.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
In einem ebenen Dreieck beträgt die Innenwinkelsumme . Den dritten Winkel erhältst du, indem du die beiden bekannten Winkel von abziehst. Ein gültiger Innenwinkel muss sein.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback