Mathematik · Klasse 6–7 · aktualisiert
Winkel berechnen: Dreieck, Viereck und Sinus
Fehlende Winkel findest du mit der Innenwinkelsumme oder im rechtwinkligen Dreieck mit Sinus, Kosinus und Tangens. Du lernst, was wann passt.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Einen fehlenden Winkel berechnest du im Dreieck mit der Innenwinkelsumme 180^\circ, im Viereck mit 360^\circ: Du ziehst die bekannten Winkel ab. Im rechtwinkligen Dreieck mit zwei bekannten Seiten wählst du Sinus, Kosinus oder Tangens und nutzt die Umkehrfunktion, etwa \alpha=\sin^{-1}(0{,}5)=30^\circ.
Fehlende Winkel berechnest du je nach Angaben auf zwei Arten: In Dreiecken und Vierecken nutzt du die Innenwinkelsumme. In rechtwinkligen Dreiecken kannst du einen Winkel aus zwei bekannten Seitenlängen mit Sinus, Kosinus oder Tangens bestimmen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Schau zuerst auf die gegebenen Größen: Sind in einem Dreieck zwei Winkel bekannt? Nutze die Innenwinkelsumme 180^\circ. Sind in einem Viereck drei Winkel bekannt? Nutze die Innenwinkelsumme 360^\circ. Ist das Dreieck rechtwinklig und sind zwei passende Seitenlängen bekannt? Nutze Sinus, Kosinus oder Tangens. Die Innenwinkelsumme reicht nicht aus, wenn zu wenige Winkel bekannt sind. Die hier erklärten Winkelfunktionen gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.
Merke: Bestimme zuerst die Art der Figur und markiere alle bekannten Größen. Rechne erst danach.
Teste dich
Die Innenwinkelsumme ist die Summe aller Winkel im Inneren einer Figur. Kennst du alle Winkel bis auf einen, ziehst du die bekannten Winkel von der Innenwinkelsumme ab. Zum Schluss prüfst du, ob alle Winkel zusammen wieder die Innenwinkelsumme ergeben.
Definition
Innenwinkelsumme
In jedem Dreieck beträgt die Innenwinkelsumme 180^\circ. In jedem Viereck beträgt sie 360^\circ.
Beispiel: Fehlender Winkel im Dreieck: \beta=73^\circ, \gamma=80^\circ
- 1\alpha+73^\circ+80^\circ=180^\circ
- 2\alpha=180^\circ-73^\circ-80^\circ
- 3\alpha=27^\circ
- 4Kontrolle: 27^\circ+73^\circ+80^\circ=180^\circ
Beispiel: Fehlender Winkel im Viereck: 95^\circ, 108^\circ und 97^\circ
- 1360^\circ-95^\circ-108^\circ-97^\circ=60^\circ
- 2Kontrolle: 95^\circ+108^\circ+97^\circ+60^\circ=360^\circ
Teste dich
Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen Winkel von 90^\circ. Die längste Seite liegt diesem rechten Winkel gegenüber und heißt Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Ihre Namen hängen vom gesuchten spitzen Winkel ab: Die Gegenkathete liegt dem gesuchten Winkel gegenüber. Die Ankathete ist die Kathete, die am gesuchten Winkel liegt. Welche zwei Seiten du kennst, bestimmt die Winkelfunktion. Aus dem Seitenverhältnis erhältst du den Winkel mit der passenden Umkehrfunktion: \sin^{-1}, \cos^{-1} oder \tan^{-1}. Stelle deinen Taschenrechner dafür auf den Gradmodus, meist mit DEG bezeichnet.
| Bekannte Seiten | Winkelfunktion |
|---|---|
| Gegenkathete und Hypotenuse | \sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} |
| Ankathete und Hypotenuse | \cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} |
| Gegenkathete und Ankathete | \tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} |
Beispiel: Gegenkathete 3\,\mathrm{cm}, Hypotenuse 6\,\mathrm{cm}: Wie groß ist \alpha?
- 1Gegenkathete und Hypotenuse sind bekannt: Sinus.
- 2\sin(\alpha)=\frac{3\,\mathrm{cm}}{6\,\mathrm{cm}}=0{,}5
- 3\alpha=\sin^{-1}(0{,}5)=30^\circ
- 4Die Einheit Zentimeter kürzt sich im Seitenverhältnis.
Merke: Die Hypotenuse bleibt dieselbe Seite. Gegenkathete und Ankathete können ihre Rollen wechseln, wenn du einen anderen Winkel betrachtest.
Teste dich
Eine Rechnung ist erst fertig, wenn du das Ergebnis geprüft hast. Figur prüfen: Hast du 180^\circ für ein Dreieck beziehungsweise 360^\circ für ein Viereck verwendet? Summe prüfen: Ergeben alle Innenwinkel zusammen die richtige Innenwinkelsumme? Seiten prüfen: Liegt die Hypotenuse wirklich dem rechten Winkel gegenüber? Bezug prüfen: Hast du Gegenkathete und Ankathete relativ zum gesuchten Winkel benannt? Größe prüfen: Passt das Ergebnis zur Winkelart? Ein spitzer Winkel ist kleiner als 90^\circ, ein stumpfer Winkel größer als 90^\circ und kleiner als 180^\circ.
Merke: \sin^{-1} ist die Umkehrfunktion des Sinus: Sie macht aus einem Sinuswert einen Winkel. Sie ist nicht der Kehrwert \frac{1}{\sin(\alpha)}. Dasselbe gilt für \cos^{-1} und \tan^{-1}.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Winkel berechnen
Innenwinkelsumme
Dreieck 180^\circ, Viereck 360^\circ
Rechtwinkliges Dreieck
Seiten relativ zum gesuchten Winkel benennen
Sinus
Gegenkathete und Hypotenuse
Kosinus
Ankathete und Hypotenuse
Tangens
Gegenkathete und Ankathete
Kontrolle
Summe, Seitenzuordnung und Winkelgröße prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Gegenkathete und Ankathete sind je 4\,\mathrm{cm} lang: Wie groß ist \alpha?
- 1Gegenkathete und Ankathete sind bekannt: Tangens.
- 2\tan(\alpha)=\frac{4\,\mathrm{cm}}{4\,\mathrm{cm}}=1
- 3\alpha=\tan^{-1}(1)=45^\circ
- 4Kontrolle: Der dritte Winkel ist 180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ, die Summe stimmt.
Fehler finden
Fehlender Winkel im Dreieck: \alpha=48^\circ, \beta=65^\circ In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Im Dreieck ist die Innenwinkelsumme 180^\circ: \gamma=180^\circ-48^\circ-65^\circ=67^\circ. Schon 247^\circ hätte stutzig machen müssen, denn ein Innenwinkel im Dreieck ist kleiner als 180^\circ.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Im Dreieck beträgt die Innenwinkelsumme . Kennst du im rechtwinkligen Dreieck Ankathete und Hypotenuse, nutzt du den . Aus dem Seitenverhältnis erhältst du den Winkel mit .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback