Mathematik · Klasse 6–7 · aktualisiert
Stufenwinkel und Wechselwinkel einfach erklärt
Stufen- und Wechselwinkel entstehen, wenn eine Gerade zwei Parallelen schneidet. Du lernst, sie zu erkennen, Winkel zu berechnen und Parallelität zu begründen.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Stufenwinkel liegen an zwei Schnittpunkten in gleicher Lage, Wechselwinkel auf entgegengesetzten Seiten der Schnittgeraden. Sind die geschnittenen Geraden parallel, sind beide Winkelpaare gleich groß. Misst ein Winkel 68°, messen alle acht Winkel 68° oder 180° − 68° = 112°.
Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden, entstehen an zwei Schnittpunkten acht Winkel. Stufenwinkel haben an beiden Schnittpunkten die gleiche Lage. Wechselwinkel liegen auf entgegengesetzten Seiten der Schnittgeraden. Bei parallelen Geraden sind beide Winkelarten jeweils gleich groß. Auf dieser Seite lernst du, passende Winkelpaare zu erkennen, unbekannte Winkel zu berechnen und deine Schritte mit Winkelsätzen zu begründen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir zwei waagerechte Geraden vor, die von einer schrägen dritten Geraden geschnitten werden. Die schräge Gerade heißt Schnittgerade. An jedem der beiden Schnittpunkte entstehen vier Winkel. Liegt ein Winkel am oberen Schnittpunkt rechts oberhalb, dann ist der Winkel rechts oberhalb am unteren Schnittpunkt sein Stufenwinkel. Liegt ein Winkel am oberen Schnittpunkt unter der oberen Geraden und rechts von der Schnittgeraden, dann liegt sein innenliegender Wechselwinkel am unteren Schnittpunkt über der unteren Geraden und links von der Schnittgeraden. Ein hilfreiches Suchverfahren: Gehe zum anderen Schnittpunkt und suche dort zuerst den Stufenwinkel. Nimm anschließend den gegenüberliegenden Scheitelwinkel. Dieser Winkel ist der Wechselwinkel des Ausgangswinkels.
Definition
Stufenwinkel
Stufenwinkel liegen an den beiden Schnittpunkten in entsprechender Lage: zum Beispiel beide jeweils rechts oberhalb ihres Schnittpunkts. Du wechselst also zum anderen Schnittpunkt, behältst aber dieselbe Position bei.
Definition
Wechselwinkel
Wechselwinkel liegen an verschiedenen Schnittpunkten und auf entgegengesetzten Seiten der Schnittgeraden. Auch ihre Lage zu den beiden geschnittenen Geraden wechselt. Innenliegende Wechselwinkel bilden häufig die Form eines normalen oder gespiegelten Z.
Merke: Gleiche Position führt zum Stufenwinkel. Anderer Schnittpunkt und andere Seite führen zum Wechselwinkel.
Teste dich
Die Namen Stufenwinkel und Wechselwinkel beschreiben zunächst die Lage zweier Winkel. Für ihre Größe ist eine zusätzliche Bedingung entscheidend: Die beiden geschnittenen Geraden müssen parallel sein. Sind die Geraden nicht parallel, können die Winkel zwar dieselbe Lagebeziehung haben, müssen aber nicht gleich groß sein. An jedem einzelnen Schnittpunkt gelten außerdem zwei bekannte Regeln: Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich groß. Nebenwinkel liegen nebeneinander an einer Geraden und ergeben zusammen 180^\circ. Bei zwei geschnittenen Parallelen lassen sich alle acht Winkel damit bestimmen. Sie besitzen insgesamt nur zwei Größen: einen Winkelwert und seine Ergänzung zu 180^\circ.
Merke: Sind die geschnittenen Geraden parallel, dann gilt: Stufenwinkel sind gleich groß. Wechselwinkel sind gleich groß.
Beispiel: Alle acht Winkel aus 68° bestimmen
- 1Gegeben: ein Winkel von 68^\circ an zwei Parallelen
- 2Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel: je 68^\circ
- 3Jeder Nebenwinkel: 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ
- 4Alle acht Winkel messen 68^\circ oder 112^\circ.
Teste dich
Beim Rechnen genügt ein Ergebnis allein nicht. Notiere zu jedem Schritt den verwendeten Winkelsatz. Eine zuverlässige Argumentationskette nennt immer drei Dinge: die Lage des gesuchten Winkels, den passenden Winkelsatz und die daraus folgende Rechnung oder Gleichheit.
Beispiel: Wechselwinkel und Nebenwinkel zu 47°
- 1Gegeben: 47^\circ, die Geraden sind parallel.
- 2Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß: 47^\circ
- 3Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°: 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ
- 4Probe: 47^\circ + 133^\circ = 180^\circ
Teste dich
Der Wechselwinkelsatz lässt sich auch umkehren. Damit kannst du Parallelität begründen, ohne dich auf den bloßen Eindruck einer Zeichnung zu verlassen. Achte auf die Richtung der Aussage: Parallelität gegeben: Du darfst die Gleichheit der Wechselwinkel folgern. Gleiche Wechselwinkel gegeben: Du darfst die Parallelität der Geraden folgern. Nur eine ähnlich aussehende Zeichnung gegeben: Daraus folgt noch keine Parallelität.
Merke: Sind Wechselwinkel gleich groß, dann sind die beiden geschnittenen Geraden parallel.
Beispiel: Ein Wechselwinkelpaar mit zweimal 63°
- 1Die beiden Winkel sind Wechselwinkel.
- 2Beide messen 63^\circ, sie sind also gleich groß.
- 3Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: Die Geraden sind parallel.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Stufenwinkel und Wechselwinkel
Stufenwinkel
gleiche Lage an beiden Schnittpunkten
Wechselwinkel
anderer Schnittpunkt, andere Seite der Schnittgeraden
Parallelen
Stufen- und Wechselwinkel sind gleich groß
Scheitelwinkel
liegen sich gegenüber und sind gleich groß
Nebenwinkel
ergänzen sich zu 180°
Umkehrung
gleich große Wechselwinkel zeigen Parallelität
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Stufenwinkel und Nebenwinkel zu 55°
- 1Gegeben: \alpha = 55^\circ an zwei parallelen Geraden
- 2\beta ist Stufenwinkel zu \alpha, also \beta = 55^\circ.
- 3\gamma ist Nebenwinkel zu \beta: \gamma = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ
- 4Probe: 55^\circ + 125^\circ = 180^\circ
Fehler finden
Winkel an Parallelen zu 72° In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Nebenwinkel sind nicht gleich groß, sie ergänzen sich zu 180°. Richtig ist \gamma = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Stufenwinkel liegen an beiden Schnittpunkten in Lage. An parallelen Geraden sind Wechselwinkel . Nebenwinkel ergänzen sich zu .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback