Mathematik · Klasse 6–7 · aktualisiert
Verschiebung in der Geometrie einfach erklärt
Bei einer Verschiebung wandert jeder Punkt um denselben Pfeil. Du verschiebst Figuren im Raster und im Koordinatensystem und erkennst Sonderfälle.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Verschiebung bewegt jeden Punkt einer Figur gleich weit in dieselbe Richtung. Ein Verschiebungspfeil legt Weite, Richtung und Richtungssinn fest. Im Koordinatensystem addierst du die Verschiebung zu den Koordinaten: A(2|1) wird um 5 nach rechts und 3 nach oben zu A'(7|4).
Bei einer Verschiebung bewegst du jeden Punkt einer Figur gleich weit und in dieselbe Richtung. Die Figur ändert dabei nur ihre Lage: Sie wird weder gedreht noch verformt und bleibt mit der Ausgangsfigur deckungsgleich.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir eine Figur auf kariertem Papier vor. Du schiebst sie zum Beispiel fünf Kästchen nach rechts und drei Kästchen nach oben. Genau diese Bewegung führt jeder Punkt der Figur aus. Weil alle Punkte dieselbe Bewegung ausführen, bleiben Form und Größe erhalten. Ausgangsfigur und Bildfigur sind deckungsgleich: Würdest du sie übereinanderlegen, passten sie exakt aufeinander.
Definition
Verschiebung
Eine Verschiebung, auch Parallelverschiebung oder Translation, ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst. Jedem Ausgangspunkt P wird genau ein Bildpunkt P' zugeordnet. Der Pfeil von P nach P' ist für alle Punkte gleich lang und hat denselben Richtungssinn.
Merke: Eine Verschiebung verändert die Lage, aber nicht die Form, die Größe oder die Ausrichtung einer Figur.
Teste dich
Ein Verschiebungspfeil beschreibt die gesamte Bewegung. Seine Länge gibt die Verschiebungsweite an. Seine Ausrichtung gibt die Richtung an, etwa waagerecht. Die Pfeilspitze zeigt den Richtungssinn, etwa nach rechts statt nach links. Im Kästchenraster kannst du einen schrägen Pfeil als zwei Teilwege lesen: einen waagerechten Weg nach links oder rechts und einen senkrechten Weg nach oben oder unten. Du brauchst den Verschiebungspfeil und die Eckpunkte der Ausgangsfigur. Wähle einen Eckpunkt. Übertrage den Verschiebungspfeil mit gleicher Länge und gleichem Richtungssinn auf diesen Punkt. Markiere das Pfeilende als Bildpunkt, zum Beispiel A'. Wiederhole das für alle übrigen Eckpunkte. Verbinde die Bildpunkte in derselben Reihenfolge wie die Ausgangspunkte.
Beispiel: Pfeil: 8 Kästchen nach rechts, 2 nach unten
- 1Beginne am Punkt A.
- 2Gehe 8 Kästchen nach rechts.
- 3Gehe dann 2 Kästchen nach unten. Dort liegt A'.
- 4Wiederhole diese beiden Teilwege für jeden weiteren Punkt.
Beispiel: Rechteck um 5 nach rechts und 3 nach oben verschieben
- 1A(2|1), B(5|1), C(5|3), D(2|3)
- 2A': 2 + 5 = 7 und 1 + 3 = 4, also A'(7|4)
- 3Genauso: B'(10|4), C'(10|6), D'(7|6)
- 4Verbinde A', B', C' und D' in dieser Reihenfolge: wieder ein gleich großes, gleich ausgerichtetes Rechteck.
Merke: Verschiebe nicht nur einen Punkt. Übertrage denselben Pfeil auf jeden Eckpunkt und verbinde erst danach die Bildpunkte.
Teste dich
Zwei deckungsgleiche Figuren können durch eine Verschiebung zusammenpassen. Deckungsgleichheit allein reicht aber noch nicht als Begründung: Die Figuren könnten auch gedreht oder gespiegelt worden sein. Prüfe deshalb entsprechende Punkte. Sind die Pfeile von jedem Ausgangspunkt zu seinem Bildpunkt gleich lang, parallel und gleich gerichtet, liegt eine Verschiebung vor.
Definition
Verschiebungssymmetrie
Eine Figur ist verschiebungssymmetrisch, wenn eine erkennbare Grundfigur wiederholt durch dieselbe Verschiebung an neue Stellen gelangt. Eine solche Wiederholung kann ein Bandornament bilden.
Beispiel: Ein Bandornament
- 1Eine Grundfigur wird 4 Kästchen nach rechts verschoben.
- 2Die Kopie wird wieder 4 Kästchen nach rechts verschoben, und so weiter.
- 3Zwischen benachbarten Figuren gilt stets derselbe Pfeil.
- 4So entsteht ein verschiebungssymmetrisches Bandornament.
Teste dich
Bei einer Verschiebungsweite von 0 bleibt jeder Punkt an seinem Platz. Diese besondere Verschiebung heißt identische Abbildung. Bei jeder Verschiebung mit einer Weite größer als 0 wechselt dagegen jeder Punkt seinen Platz. Es gibt dann keinen Fixpunkt, also keinen Punkt, der unverändert bleibt. Eine Gerade, die parallel zum Verschiebungspfeil verläuft, wird als ganze Punktmenge auf sich selbst abgebildet. Sie heißt deshalb Fixgerade. Die einzelnen Punkte auf ihr bleiben dabei nicht fest; sie wandern nur zu anderen Punkten derselben Geraden.
Merke: Eine Verschiebung mit einer Weite größer als 0 hat keinen Fixpunkt. Jede Gerade parallel zum Verschiebungspfeil ist aber eine Fixgerade.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Verschiebung
Beschreibung
gleicher Pfeil für jeden Punkt
Ergebnis
Lage neu, Form und Größe gleich
Konstruktion
Eckpunkte verschieben und Bildpunkte verbinden
Erkennen
entsprechende Punktpfeile vergleichen
Muster
Grundfigur wiederholt verschieben
Sonderfall
Weite 0 ist die identische Abbildung
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Dreieck um 4 nach rechts und 1 nach unten verschieben
- 1Gegeben: A(1|2), B(4|2), C(3|5)
- 2A': 1 + 4 = 5 und 2 - 1 = 1, also A'(5|1)
- 3B': 4 + 4 = 8 und 2 - 1 = 1, also B'(8|1)
- 4C': 3 + 4 = 7 und 5 - 1 = 4, also C'(7|4)
- 5Verbinde A', B' und C': Das Bilddreieck ist deckungsgleich zum Ausgangsdreieck.
Fehler finden
P(3|4) um 2 nach links und 5 nach unten verschieben In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Nach unten musst du subtrahieren, nicht addieren. Richtig: 4 - 5 = -1, also P'(1|-1).
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die des Pfeils gibt die Verschiebungsweite an. Die Pfeilspitze zeigt den . Für alle Punkte einer Figur sind die Verschiebungspfeile .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback