Variation in der Kombinatorik einfach erklärt

Bei einer Variation werden Plätze oder Positionen besetzt. Zwei Ergebnisse sind verschieden, sobald sich ihre Reihenfolge unterscheidet. Wählst du aus den Buchstaben A, B und C zwei aus, sind AB und BA zwei verschiedene Ergebnisse. Deshalb handelt es sich um eine Variation. Zählt die Reihenfolge dagegen nicht, liegt eine Kombination vor. Werden alle n verschiedenen Objekte ohne Wiederholung angeordnet, also k=n, ist die Variation eine Permutation.

Ohne Wiederholung bedeutet: Jedes Objekt darf höchstens einmal ausgewählt werden. Daher gilt k\le n. Für den ersten Platz gibt es n Möglichkeiten. Danach bleibt ein Objekt weniger übrig. Für die k Plätze erhältst du deshalb: n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1) Mit der Fakultät n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1 lässt sich das kürzer schreiben: V_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}

Mit Wiederholung bedeutet: Dasselbe Objekt darf an mehreren Positionen vorkommen. Im Urnenmodell entspricht das einer Ziehung mit Zurücklegen. Für jeden der k Plätze stehen unabhängig wieder alle n Objekte zur Verfügung. Daher gilt: V^W_{n,k}=n^k „Mit Wiederholung“ heißt bei einer Variation, dass eine Mehrfachauswahl möglich ist. Nicht jedes Ergebnis muss tatsächlich eine Wiederholung enthalten: Auch (1,2,3) gehört zu den 125 Folgen.

Gehe bei einer Aufgabe in dieser Reihenfolge vor: Prüfe, ob die Reihenfolge zählt. Wenn nein, ist es keine Variation. Bestimme n, die Zahl der verfügbaren Objekte. Bestimme k, die Zahl der Plätze oder Ziehungen. Prüfe, ob ein Objekt mehrfach vorkommen darf. Multipliziere die Möglichkeiten der einzelnen Plätze.