Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Uneigentliche Integrale berechnen und prüfen
Uneigentliche Integrale haben eine unendliche Grenze oder eine kritische Stelle. Du lernst, sie per Grenzwert zu berechnen und Konvergenz zu prüfen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein uneigentliches Integral hat eine unendliche Grenze oder eine Stelle, an der der Integrand nicht definiert ist. Du ersetzt die kritische Grenze durch eine Variable und bildest den Grenzwert: \int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx. Ist er endlich, konvergiert das Integral.
Ein uneigentliches Integral enthält mindestens eine kritische Grenze oder Stelle. Du ersetzt sie durch eine endliche Grenze und untersuchst anschließend einen Grenzwert. Nur wenn alle benötigten Grenzwerte endlich existieren, konvergiert das Integral.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein bestimmtes Integral ist nicht unmittelbar als gewöhnliches Integral berechenbar, wenn eine Integrationsgrenze unendlich ist oder der Integrand an einer Stelle des Intervalls nicht definiert beziehungsweise unbeschränkt ist. Man unterscheidet häufig zwei Arten: Erste Art: Mindestens eine Integrationsgrenze ist +\infty oder -\infty. Zweite Art: Im Integrationsintervall liegt eine endliche kritische Stelle, an der der Integrand nicht definiert oder unbeschränkt ist. Beispiele: \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx ist wegen der oberen Grenze uneigentlich. \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx ist wegen der kritischen Stelle x=0 uneigentlich. \int_0^1 x^2\,dx ist ein gewöhnliches bestimmtes Integral.
Definition
Uneigentliches Integral
Ein uneigentliches Integral wird durch einen Grenzwert gewöhnlicher bestimmter Integrale definiert. Konvergent heißt es, wenn dieser Grenzwert endlich existiert. Andernfalls heißt es divergent.
Teste dich
Bei einer unbeschränkten oberen Grenze gilt: \int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx Du gehst in drei Schritten vor: Ersetze die kritische Grenze durch eine endliche Variable. Berechne das entstandene gewöhnliche Integral. Bilde den passenden Grenzwert und entscheide, ob er endlich ist.
Beispiel: \int_0^\infty e^{-x}\,dx berechnen
- 1Grenze ersetzen: \int_0^\infty e^{-x}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_0^b e^{-x}\,dx
- 2Stammfunktion: -e^{-x}
- 3\int_0^b e^{-x}\,dx=[-e^{-x}]_0^b=1-e^{-b}
- 4Grenzwert: \lim_{b\to\infty}(1-e^{-b})=1
- 5Das Integral konvergiert und hat den Wert 1.
Merke: Die Symbole \infty und -\infty sind keine Zahlen, die du wie gewöhnliche Grenzen einsetzen darfst. Sie geben einen Grenzübergang an.
Teste dich
Eine Kurve kann sich der x-Achse immer weiter nähern. Trotzdem ist nicht allein die Skizze entscheidend: Nur der berechnete Grenzwert zeigt, ob das Integral einen endlichen Wert besitzt.
Beispiel: \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx konvergiert
- 1\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx
- 2Stammfunktion: -\frac{1}{x}
- 3\int_1^b x^{-2}\,dx=\left[-\frac{1}{x}\right]_1^b=1-\frac{1}{b}
- 4Wegen \frac{1}{b}\to 0 gilt \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=1
Beispiel: \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx divergiert
- 1\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx=\lim_{b\to\infty}[\ln x]_1^b=\lim_{b\to\infty}\ln b
- 2\ln b wächst ohne Grenze: Es gibt keinen endlichen Integralwert.
Merke: Dass der Integrand gegen 0 strebt, reicht nicht für Konvergenz. Sowohl \frac{1}{x} als auch \frac{1}{x^2} nähern sich 0, aber nur das zweite Integral konvergiert auf [1,\infty).
Teste dich
Liegt die kritische Stelle an einer endlichen Grenze, näherst du dich ihr von der Seite des Integrationsintervalls. Für eine kritische untere Grenze c gilt: \int_c^d f(x)\,dx=\lim_{a\to c^+}\int_a^d f(x)\,dx Das Zeichen c^+ bedeutet: a nähert sich c von rechts. Zum Vergleich divergiert \int_0^1 \frac{1}{x}\,dx, denn der entstehende logarithmische Grenzwert ist nicht endlich. Liegt die kritische Stelle im Inneren des Intervalls, zerlegst du das Integral genau dort und näherst dich ihr in beiden Teilintegralen einseitig. Hat ein Integral zwei kritische Grenzen, etwa -\infty und \infty, zerlegst du es an einer unkritischen Zwischenstelle m: \int_a^b f(x)\,dx=\int_a^m f(x)\,dx+\int_m^b f(x)\,dx Jedes Teilintegral muss für sich konvergieren. Ein Gesamtintegral divergiert bereits dann, wenn nur eines der Teilintegrale divergiert. Gegensätzliche unendliche Beiträge dürfen nicht miteinander verrechnet werden.
Beispiel: \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx berechnen
- 1Kritische Stelle: x=0
- 2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\lim_{a\to0^+}\int_a^1 x^{-1/2}\,dx
- 3Stammfunktion: 2\sqrt{x}
- 4\int_a^1 x^{-1/2}\,dx=[2\sqrt{x}]_a^1=2-2\sqrt{a}
- 5Wegen \sqrt{a}\to0 gilt \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2
- 6Das Integral konvergiert, obwohl der Integrand bei 0 unbeschränkt ist.
Beispiel: \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx berechnen
- 1Bei 0 zerlegen: \int_{-\infty}^{0}\frac{1}{1+x^2}\,dx+\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx
- 2Stammfunktion: \arctan x
- 3Links: \lim_{a\to-\infty}[\arctan x]_a^0=0-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}
- 4Rechts: \lim_{b\to\infty}[\arctan x]_0^b=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}
- 5Beide Teile konvergieren: \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi
Teste dich
Alles auf einen Blick
Uneigentliches Integral
Erkennen
unendliche Grenze oder kritische Stelle
Ersetzen
endliche Variable einsetzen
Berechnen
gewöhnliches Integral auswerten
Prüfen
passenden Grenzwert bilden
Entscheiden
endlich bedeutet konvergent
Zerlegen
mehrere kritische Stellen getrennt behandeln
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
\int_1^\infty \frac{2}{x^3}\,dx berechnen
- 1\int_1^\infty \frac{2}{x^3}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_1^b 2x^{-3}\,dx
- 2Stammfunktion: -x^{-2}=-\frac{1}{x^2}
- 3\int_1^b 2x^{-3}\,dx=\left[-\frac{1}{x^2}\right]_1^b=1-\frac{1}{b^2}
- 4\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac{1}{b^2}\right)=1
- 5Der Grenzwert ist endlich: Das Integral konvergiert und hat den Wert 1.
Fehler finden
\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx berechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Bei x=0 ist \frac{1}{x^2} nicht definiert, du musst dort zerlegen. Schon \int_0^1 \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{a\to0^+}\left(\frac{1}{a}-1\right) ist nicht endlich: Das Integral divergiert. Ein positiver Integrand kann auch nie -2 ergeben.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ein Integral mit der oberen Grenze \infty ist . Du ersetzt die kritische Grenze durch eine und bildest dann den Grenzwert. Ist dieser Grenzwert endlich, heißt das Integral .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback