Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Spiegelung an einer Ebene sicher berechnen
Spiegelst du an einer Ebene, läuft jeder Punkt senkrecht durch die Ebene. Du lernst, Punkte, Geraden und Ebenen mit Lotfußpunkt oder Formel zu spiegeln.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Bei der Spiegelung an einer Ebene E läuft ein Punkt P senkrecht zur Ebene auf die andere Seite. Du schneidest die Gerade durch P in Normalenrichtung mit E und erhältst den Lotfußpunkt S. Der Spiegelpunkt ist dann \vec p'=2\vec s-\vec p.
Bei einer Spiegelung an einer Ebene läuft jeder Punkt senkrecht zur Spiegelebene auf die andere Seite. Der Lotfußpunkt liegt genau in der Mitte zwischen Ausgangspunkt und Spiegelpunkt. Dieses Grundprinzip reicht aus, um auch Geraden und ganze Ebenen zu spiegeln.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir die Ebene als ebenen Spiegel im Raum vor. Die kürzeste Verbindung von einem Punkt P zur Ebene verläuft in Richtung eines Normalenvektors. Ein Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene. So gehst du vor: Lies aus der Koordinatenform einen Normalenvektor \vec n ab. Stelle die Hilfsgerade durch P mit Richtung \vec n auf, wie beim Abstand Punkt–Ebene. Schneide sie mit der Ebene: Das ergibt den Lotfußpunkt S. Weil S die Strecke PP' halbiert, gilt \vec p'=2\vec s-\vec p. Dabei sind \vec p, \vec s und \vec p' die Ortsvektoren von P, S und P'. Prüfe zum Schluss, ob S in der Ebene liegt und beide Streckenhälften gleich sind. Punkte, die bereits in der Spiegelebene liegen, verändern sich nicht: Für sie gilt P'=P.
Definition
Lotfußpunkt
Der Lotfußpunkt S ist der Schnittpunkt der senkrechten Hilfsgeraden durch P mit der Spiegelebene. Bei der Spiegelung ist S der Mittelpunkt der Strecke zwischen P und P'.
Beispiel: P(7|6|9) an E:2x_1+x_2+2x_3=20 spiegeln
- 1Hilfsgerade: h:\vec x=\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
- 2In E einsetzen: 2(7+2\lambda)+(6+\lambda)+2(9+2\lambda)=20
- 338+9\lambda=20, also \lambda=-2
- 4Lotfußpunkt: \vec s=\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}
- 5Spiegelpunkt: \vec p'=2\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}, also P'(-1|2|1)
- 6Probe: 2\cdot3+4+2\cdot5=20 und \overrightarrow{PS}=\overrightarrow{SP'}=(-4|-2|-4)
Merke: Die Spiegelebene ist die Mittelsenkrechten-Ebene der Strecke PP': PP' steht senkrecht auf der Ebene, und der Lotfußpunkt halbiert die Strecke.
Teste dich
Liegt die Ebene in Normalenform E:\vec x\cdot\vec n=d vor, kannst du den Spiegelpunkt ohne einen getrennt berechneten Lotfußpunkt bestimmen: \vec p'=\vec p+\frac{2(d-\vec p\cdot\vec n)}{\vec n\cdot\vec n}\vec n. Voraussetzung ist \vec n\ne\vec 0. Der Bruch bestimmt, wie weit du in Normalenrichtung gehen musst. Der Nenner \vec n\cdot\vec n ist das Quadrat der Länge des Normalenvektors. Wenn P bereits in der Ebene liegt, gilt \vec p\cdot\vec n=d. Dann wird der Zähler null und die Formel liefert folgerichtig \vec p'=\vec p.
Beispiel: P(3|2|1) an E:\vec x\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=6 spiegeln
- 1\vec p\cdot\vec n=3\cdot1+2\cdot0+1\cdot(-1)=2
- 2\vec n\cdot\vec n=1^2+0^2+(-1)^2=2
- 3Faktor: \frac{2(6-2)}{2}=4
- 4\vec p'=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+4\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\2\\-3\end{pmatrix}, also P'(7|2|-3)
Teste dich
Eine Gerade spiegelst du, indem du geeignete Punkte spiegelst und fest bleibende Elemente nutzt. Zuerst entscheidest du über ihre Lage zur Spiegelebene. Die Gerade ist parallel zur Ebene: Wähle einen Punkt der Geraden und spiegle ihn. Der Spiegelpunkt wird zum Aufpunkt der Bildgeraden. Den Richtungsvektor kannst du übernehmen, weil er parallel zur Ebene verläuft. Liegt die Gerade vollständig in der Spiegelebene, bleiben sogar alle ihre Punkte fest. Die Bildgerade ist dann dieselbe Gerade. Die Gerade schneidet die Ebene: Bestimme den Schnittpunkt S von Gerade und Ebene. Dieser Punkt bleibt fest. Wähle einen weiteren Punkt P auf der Geraden, spiegle ihn zu P' und verwende \overrightarrow{SP'} als Richtungsvektor der Bildgeraden.
Merke: Bei einer schneidenden Geraden brauchst du nur einen Punkt zu spiegeln: Der Schnittpunkt mit der Spiegelebene ist bereits ein zweiter Punkt der Bildgeraden.
Teste dich
Auch eine Ebene bestimmst du über Punkte und Richtungen. Es gibt zwei wichtige Lagefälle. Parallele Ebenen: Sind E:a x_1+b x_2+c x_3=d_1 und die Spiegelebene H:a x_1+b x_2+c x_3=d_2 mit demselben orientierten Normalenvektor geschrieben, dann lautet die Bildebene E':a x_1+b x_2+c x_3=d_3 mit d_3=2d_2-d_1. Sich schneidende Ebenen: Die Schnittgerade beider Ebenen liegt in der Spiegelebene und bleibt fest. Wähle zusätzlich einen Punkt P der zu spiegelnden Ebene, der nicht auf der Schnittgeraden liegt. Spiegle ihn zu P'. Die feste Schnittgerade und P' bestimmen anschließend die Bildebene. Alternativ kannst du drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte der Ausgangsebene spiegeln. Die drei Bildpunkte bestimmen die Bildebene.
Beispiel: Eine parallele Ebene spiegeln
- 1E:5x_1-x_2+2x_3=-3 und H:5x_1-x_2+2x_3=-30
- 2Gleicher Normalenvektor, also parallel: d_3=2d_2-d_1
- 3d_3=2\cdot(-30)-(-3)=-57
- 4Bildebene: E':5x_1-x_2+2x_3=-57
Teste dich
Alles auf einen Blick
Spiegelung an einer Ebene
Punkt
Normalengerade, Lotfußpunkt, Mittelpunkt
Direkte Rechnung
Normalenform und Korrekturfaktor
Gerade
parallelen oder schneidenden Fall unterscheiden
Ebene
parallelen oder schneidenden Fall unterscheiden
Kontrolle
feste Punkte und gleiche Abstände prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
P(1|2|3) an E:x_1+x_2+x_3=12 spiegeln
- 1Normalenvektor: \vec n=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
- 2Hilfsgerade: h:\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
- 3Einsetzen: (1+\lambda)+(2+\lambda)+(3+\lambda)=12
- 46+3\lambda=12, also \lambda=2
- 5Lotfußpunkt: \vec s=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}
- 6Spiegelpunkt: \vec p'=2\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\6\\7\end{pmatrix}, also P'(5|6|7)
Fehler finden
P(4|1|5) an E:2x_1-x_2+2x_3=8 spiegeln In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4\vec s-\vec p ist nur der Verbindungsvektor von P nach S. Richtig ist \vec p'=2\vec s-\vec p=\begin{pmatrix}4\\4\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\1\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}, also P'(0|3|1).
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Lotfußpunktverfahren hat die Hilfsgerade den der Ebene als Richtung. Ihr Schnittpunkt mit der Ebene ist der . Danach gilt .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback