Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Übergangsmatrix: Prozesse berechnen und verstehen
Eine Übergangsmatrix beschreibt Wechsel zwischen Zuständen. Du lernst, sie zu lesen, Folgezustände zu berechnen und stationäre Zustände zu finden.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Übergangsmatrix P enthält die Anteile, mit denen ein Bestand in einem Zeitschritt von einem Zustand in einen anderen wechselt. In der Spaltenkonvention steht jede Spalte für einen Ausgangszustand und hat die Summe 1. Den Folgezustand berechnest du mit x_{n+1} = Px_n.
Eine Übergangsmatrix beschreibt, wie sich ein System in festen Zeitschritten zwischen Zuständen verändert. Du legst zuerst Zustände, Reihenfolge und Zeitspanne fest, liest dann die Wahrscheinlichkeiten nach einer einheitlichen Konvention ein und berechnest Folgezustände durch Matrix-Vektor-Multiplikation.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Wir verwenden durchgehend die Spaltenkonvention: Eine Spalte beschreibt, woher ein Bestand kommt; eine Zeile beschreibt, wohin er geht. Der Eintrag p_{ij} steht also für den Übergang von Zustand j nach Zustand i. Für drei Supermärkte A, B und C gilt: P=\begin{pmatrix}0{,}7&0{,}2&0{,}3\\0{,}2&0{,}6&0{,}2\\0{,}1&0{,}2&0{,}5\end{pmatrix} Die erste Spalte bedeutet: Von den bisherigen Kunden von A bleiben 70 % bei A, 20 % wechseln zu B und 10 % zu C. Ihre Summe ist 1.
Definition
Übergangsmatrix
Eine stochastische Übergangsmatrix ist quadratisch. Alle Einträge liegen zwischen 0 und 1. Bei der Spaltenkonvention ergibt jede Spaltensumme 1, weil der gesamte Bestand eines Ausgangszustands verteilt wird.
Merke: Schreibe über jede Spalte „von“ und vor jede Zeile „nach“. So verwechselst du p_{ij} nicht mit p_{ji}.
Teste dich
Lege vor dem Eintragen die Reihenfolge fest, etwa (A,B,C). Dieselbe Reihenfolge gilt für Zeilen, Spalten und Zustandsvektor. Der Vektor x_0=\begin{pmatrix}600\\200\\200\end{pmatrix} bedeutet: Zu Beginn gehören 600 Kunden zu A, 200 zu B und 200 zu C. Eine gewöhnliche Prozessmatrix kann ebenfalls Entwicklungen beschreiben, muss aber nicht stochastisch sein. Prüfe deshalb, ob die Einträge wirklich Anteile sind und ob die geforderte Summe 1 ergibt.
Beispiel: Erste Spalte aus Prozentangaben
- 1Von A aus: 70 % bleiben bei A, 20 % gehen zu B, 10 % zu C
- 2Erste Spalte: (0{,}7; 0{,}2; 0{,}1)^T
- 3Summentest: 0{,}7 + 0{,}2 + 0{,}1 = 1 ✓
Teste dich
Bei Spaltenvektoren steht die Matrix links: x_{n+1}=Px_n Jeder neue Eintrag ist die Summe aller Beiträge, die in den betreffenden Zielzustand gelangen. Nach zwei Perioden gilt x_2=P(Px_0)=P^2x_0, allgemein also x_n=P^nx_0 Die Matrix P^2 beschreibt Übergänge über zwei Perioden. Sie darf nicht als Ein-Schritt-Matrix gedeutet werden.
Beispiel: Supermarktmodell: eine und zwei Perioden
- 1Px_0=\begin{pmatrix}0{,}7\cdot600+0{,}2\cdot200+0{,}3\cdot200\\0{,}2\cdot600+0{,}6\cdot200+0{,}2\cdot200\\0{,}1\cdot600+0{,}2\cdot200+0{,}5\cdot200\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}520\\280\\200\end{pmatrix}
- 2Nach einer Periode: 520 Kunden bei A, 280 bei B, 200 bei C
- 3Summe: 520 + 280 + 200 = 1000, niemand verlässt das System
- 4Zweite Periode: x_2 = Px_1 = \begin{pmatrix}480\\312\\208\end{pmatrix}
Teste dich
Für einen früheren Zustand löst du Px_{\mathrm{vor}}=x. Ist P invertierbar, kannst du x_{\mathrm{vor}}=P^{-1}x verwenden. Ist sie nicht invertierbar, gibt es keine eindeutige Lösung. Ein Fixvektor v beschreibt einen Zustand, der sich durch den Übergang nicht ändert: Pv=v Du löst dieses Gleichungssystem und ergänzt die bekannte Gesamtsumme. Ein Fixvektor ist ein stationärer Zustand; er bedeutet nicht automatisch, dass jeder Startzustand gegen ihn konvergiert. Rückwärtsrechnung und Fixvektor liefern oft keine ganzen Zahlen, etwa 145,83 Personen. Das ist ein Modellwert: Für reale Personen rundest du sinnvoll und nennst das Ergebnis eine Näherung. Ein absorbierender Zustand ist ein Sonderfall: Wer ihn erreicht, bleibt dort. In der Matrix steht beim Übergang von diesem Zustand zu sich selbst eine 1; alle anderen Einträge derselben Ausgangsspalte sind 0.
Beispiel: Supermarktmodell: eine Periode zurück
- 1Heute: x = \begin{pmatrix}600\\200\\200\end{pmatrix}, gesucht ist x_{\mathrm{vor}} mit Px_{\mathrm{vor}} = x
- 2Lösen des Gleichungssystems: x_{\mathrm{vor}} = \begin{pmatrix}750\\0\\250\end{pmatrix}
- 3Probe für A: 0{,}7 \cdot 750 + 0{,}2 \cdot 0 + 0{,}3 \cdot 250 = 600 ✓
Beispiel: Supermarktmodell: der Fixvektor
- 1Aus Pv = v folgt x = 2z und y = 1{,}5z
- 2Mit x + y + z = 1000: 4{,}5z = 1000, also z = 222\tfrac{2}{9}
- 3v = \begin{pmatrix}444\tfrac49\\333\tfrac13\\222\tfrac29\end{pmatrix}, gerundet etwa 444, 333 und 222 Kunden
- 4Probe für A mit 9v = (4000; 3000; 2000): 0{,}7 \cdot 4000 + 0{,}2 \cdot 3000 + 0{,}3 \cdot 2000 = 4000 ✓
Teste dich
Alles auf einen Blick
Übergangsmatrix
Spaltenkonvention
Spalte heißt „von“, Zeile heißt „nach“; p_{ij} führt von j nach i
Summentest
alle Einträge zwischen 0 und 1, jede Spaltensumme ist 1
Folgezustand
x_{n+1} = Px_n, nach n Schritten x_n = P^n x_0
Rückwärts
Px_{\mathrm{vor}} = x lösen, P^{-1} nur bei Invertierbarkeit
Stationär
Fixvektor mit Pv = v, die Gesamtsumme legt seine Größe fest
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Zwei Zustände: Folgezustand und Fixvektor
- 1P = \begin{pmatrix}0{,}8 & 0{,}3\\0{,}2 & 0{,}7\end{pmatrix}, Start x_0 = \begin{pmatrix}50\\50\end{pmatrix}
- 2Nach L: 0{,}8 \cdot 50 + 0{,}3 \cdot 50 = 55
- 3Nach R: 0{,}2 \cdot 50 + 0{,}7 \cdot 50 = 45, also x_1 = \begin{pmatrix}55\\45\end{pmatrix}
- 4Fixvektor: 0{,}8x + 0{,}3y = x ergibt 0{,}3y = 0{,}2x, also x = 1{,}5y
- 5Mit x + y = 100: 2{,}5y = 100, also y = 40 und x = 60
- 6Probe: 0{,}8 \cdot 60 + 0{,}3 \cdot 40 = 60 ✓
Fehler finden
Bestand nach einem Schritt In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Für L wurde die Spalte (0{,}8; 0{,}2) statt der ersten Zeile (0{,}8; 0{,}3) benutzt. Richtig: 0{,}8 \cdot 50 + 0{,}3 \cdot 50 = 55, und für R: 0{,}2 \cdot 50 + 0{,}7 \cdot 50 = 45.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei der Spaltenkonvention stehen die Ausgangszustände in den . Der Eintrag p_{ij} beschreibt den Übergang von Zustand nach Zustand i. Jede Spalte einer stochastischen Übergangsmatrix hat die Summe .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback