Spatprodukt: Volumen berechnen und verstehen

Drei Vektoren \vec a, \vec b und \vec c können einen Spat aufspannen. Das ist ein schiefer, quaderähnlicher Körper mit sechs parallelogrammförmigen Seitenflächen. Das Spatprodukt ist ein orientiertes Volumen: Sein Vorzeichen beschreibt zusätzlich die Orientierung der drei Vektoren. Das gewöhnliche geometrische Volumen ist deshalb V=\left|(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c\right|.

Gehe in drei Schritten vor: Berechne das Kreuzprodukt zweier Spannvektoren. Bilde das Skalarprodukt des Ergebnisses mit dem dritten Vektor. Bilde für das Volumen den Betrag. Das Spatprodukt lässt sich auch als Determinante schreiben: (\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=\det\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}. Beide Rechenwege liefern bei gleicher Vektorreihenfolge denselben Wert.

Das Kreuzprodukt \vec a\times\vec b steht senkrecht auf der von \vec a und \vec b aufgespannten Grundfläche. Seine Länge entspricht dem Flächeninhalt dieses Parallelogramms: A_G=|\vec a\times\vec b|. Beim Skalarprodukt mit \vec c wird berücksichtigt, wie stark \vec c in die Richtung des Normalenvektors zeigt. Genau dieser Anteil bestimmt die Höhe des Spats. So verbindet das Spatprodukt Grundfläche mal Höhe in einer Rechnung. Das Vorzeichen hängt von der Orientierung ab: Bilden \vec a, \vec b und \vec c in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem, ist das Spatprodukt positiv, bei einem Linkssystem negativ. Deshalb darf die Reihenfolge nicht beliebig geändert werden.

Ist das Spatprodukt null, spannen die drei Vektoren kein räumliches Volumen auf. Sie liegen in einer gemeinsamen Ebene; man nennt sie komplanar. Im dreidimensionalen Raum gilt: (\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=0\quad\Longleftrightarrow\quad \vec a,\vec b,\vec c\text{ sind linear abhängig}. Linear abhängig bedeutet: Mindestens einer der drei Vektoren lässt sich als Linearkombination der anderen ausdrücken. Der vermeintliche Spat ist dann zu einer Fläche oder Linie zusammengedrückt.