Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Transponierte Matrix: Berechnung und Rechenregeln
Transponieren heißt: Zeilen werden Spalten. Du lernst das Verfahren, die Rechenregeln und woran du symmetrische Matrizen erkennst.
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Kurz gesagt
Die transponierte Matrix A^{\mathsf T} entsteht, wenn du die Zeilen von A als Spalten schreibst. Aus einer m\times n-Matrix wird eine n\times m-Matrix, und es gilt (A^{\mathsf T})_{ij}=A_{ji}. Bei Produkten kehrt sich die Reihenfolge um: (AB)^{\mathsf T}=B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}.
Eine transponierte Matrix entsteht, wenn du die Zeilen einer Matrix als Spalten schreibst. Dabei ändern sich die Werte nicht, sondern nur ihre Positionen: Aus einer m\times n-Matrix wird eine n\times m-Matrix.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Für die einzelnen Einträge gilt: (A^{\mathsf T})_{ij}=A_{ji} Die beiden Indizes tauschen also ihre Plätze. Der Eintrag aus Zeile i und Spalte j von A steht in A^{\mathsf T} in Zeile j und Spalte i. Anschaulich kannst du dir die Transposition als Spiegelung an der Hauptdiagonale vorstellen. Einträge auf der Hauptdiagonale behalten ihre Position. Die anderen Einträge wechseln auf die gegenüberliegende Seite.
Definition
Transponierte Matrix
Die transponierte Matrix A^{\mathsf T} entsteht, indem jede Zeile von A zur gleich nummerierten Spalte von A^{\mathsf T} wird. Entsprechend wird jede Spalte von A zur gleich nummerierten Zeile.
Beispiel: Eine 2\times3-Matrix transponieren
- 1A=\begin{pmatrix}2&3&0\\1&4&5\end{pmatrix}
- 2Erste Zeile (2,3,0) wird erste Spalte, zweite Zeile (1,4,5) wird zweite Spalte
- 3A^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}2&1\\3&4\\0&5\end{pmatrix}
- 4Format: aus 2\times3 wird 3\times2
Merke: Transponieren bedeutet: Zeilen werden Spalten, Spalten werden Zeilen. Die Dimensionen tauschen ihre Reihenfolge.
Teste dich
Gehe in vier Schritten vor: Bestimme die Zeilen- und Spaltenzahl von A. Lege für A^{\mathsf T} eine Matrix mit vertauschten Dimensionen an. Übertrage die erste Zeile von A als erste Spalte von A^{\mathsf T}. Verfahre ebenso mit allen weiteren Zeilen. Drei schnelle Kontrollen: Stimmen die vertauschten Dimensionen? Sind alle Werte unverändert vorhanden? Wurden bei jedem Eintrag Zeilen- und Spaltennummer vertauscht? Ein häufiger Fehler besteht darin, nur die Form der Matrix zu ändern oder die Einträge innerhalb jeder Zeile umzukehren. Beides ist keine Transposition.
Beispiel: Eine 3\times2-Matrix Schritt für Schritt
- 1B=\begin{pmatrix}1&4\\8&-2\\-3&5\end{pmatrix} hat das Format 3\times2, also hat B^{\mathsf T} das Format 2\times3
- 2Die Zeilen (1,4), (8,-2) und (-3,5) werden nacheinander Spalten
- 3B^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{pmatrix}
- 4Kontrolle: -3 stand an Position (3,1) und steht jetzt an (1,3)
Teste dich
Die Transposition verträgt sich mit Addition und skalarer Multiplikation: (A+B)^{\mathsf T}=A^{\mathsf T}+B^{\mathsf T} (cA)^{\mathsf T}=cA^{\mathsf T} Zweimaliges Transponieren führt zur Ausgangsmatrix zurück: (A^{\mathsf T})^{\mathsf T}=A Beim Transponieren eines Produkts musst du besonders aufpassen: (AB)^{\mathsf T}=B^{\mathsf T}A^{\mathsf T} Die Reihenfolge der Faktoren kehrt sich um. Bei mehreren Faktoren gilt entsprechend: (A_1A_2\cdots A_r)^{\mathsf T}=A_r^{\mathsf T}\cdots A_2^{\mathsf T}A_1^{\mathsf T} Ist eine quadratische Matrix A invertierbar, gilt außerdem: (A^{-1})^{\mathsf T}=(A^{\mathsf T})^{-1} Denn mit der Produktregel folgt A^{\mathsf T}(A^{-1})^{\mathsf T}=(A^{-1}A)^{\mathsf T}=I.
Merke: Beim Transponieren eines Produkts gilt: Jeden Faktor transponieren und die Reihenfolge umdrehen.
Beispiel: Produkt aus drei Matrizen
- 1(ABC)^{\mathsf T}=C^{\mathsf T}B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}
- 2Du beginnst rechts mit C, weil sich die Reihenfolge des ganzen Produkts umkehrt
Teste dich
Vergleichst du A^{\mathsf T} mit A, erkennst du zwei besondere Arten quadratischer Matrizen: Bleibt die Matrix beim Transponieren gleich, ist sie symmetrisch. Wird sie zu -A, ist sie schiefsymmetrisch. Bei einer schiefsymmetrischen Matrix über den reellen Zahlen müssen alle Diagonaleinträge 0 sein: Ein Diagonaleintrag bleibt beim Transponieren an seinem Platz und müsste zugleich sein eigenes Negatives sein. Für jede reelle Matrix A sind die Produkte AA^{\mathsf T} und A^{\mathsf T}A symmetrisch. Für das erste Produkt zeigt die Produktregel: (AA^{\mathsf T})^{\mathsf T}=(A^{\mathsf T})^{\mathsf T}A^{\mathsf T}=AA^{\mathsf T}
Definition
Symmetrische und schiefsymmetrische Matrix
Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn A^{\mathsf T}=A gilt. Ihre Einträge sind an der Hauptdiagonale spiegelbildlich angeordnet. Sie heißt schiefsymmetrisch oder antisymmetrisch, wenn A^{\mathsf T}=-A gilt.
Beispiel: Drei Matrizen prüfen
- 1S=\begin{pmatrix}2&4\\4&5\end{pmatrix}: S^{\mathsf T}=S, also symmetrisch
- 2K=\begin{pmatrix}0&3\\-3&0\end{pmatrix}: K^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}0&-3\\3&0\end{pmatrix}=-K, also schiefsymmetrisch
- 3A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}: AA^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&11\\11&25\end{pmatrix}
- 4Die Einträge außerhalb der Hauptdiagonale sind gleich, also ist AA^{\mathsf T} symmetrisch
Teste dich
Alles auf einen Blick
Transponierte Matrix
Idee
Zeilen werden Spalten, Spalten werden Zeilen
Dimension
aus m\times n wird n\times m
Einträge
Position (i,j) wird (j,i), die Hauptdiagonale bleibt
Rechenregeln
(A^{\mathsf T})^{\mathsf T}=A und (AB)^{\mathsf T}=B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}
Symmetrie
symmetrisch bei A^{\mathsf T}=A, schiefsymmetrisch bei A^{\mathsf T}=-A
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Die Produktregel an einem Beispiel prüfen
- 1A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}3&0\\1&2\end{pmatrix}
- 2AB=\begin{pmatrix}5&4\\1&2\end{pmatrix}, also (AB)^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}5&1\\4&2\end{pmatrix}
- 3A^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}, B^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}
- 4B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}5&1\\4&2\end{pmatrix}, genau wie (AB)^{\mathsf T}
- 5Zum Vergleich: A^{\mathsf T}B^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}3&1\\6&4\end{pmatrix} ist etwas anderes
Fehler finden
C=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix} transponieren In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Zahlen wurden nur zeilenweise in das neue Format gefüllt. Die erste Zeile (1,2,3) muss aber als erste Spalte stehen: C^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Eine 4\times2-Matrix wird beim Transponieren zu einer -Matrix. Der Eintrag an Position (4,2) wandert an Position . Beim zweimaligen Transponieren erhältst du .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback