Normalverteilung: Glockenkurve verstehen und Wahrscheinlichkeiten berechnen

Eine Zufallsgröße ordnet dem Ergebnis eines Zufallsvorgangs eine Zahl zu, zum Beispiel einer zufällig gewählten Kerze ihre Brenndauer. Ein Histogramm solcher Messwerte kann an eine Glocke erinnern. Die Normalverteilung ist stetig: Die Zufallsgröße kann jeden reellen Wert in einem Bereich annehmen. Zwischen 48 g und 49 g liegen zum Beispiel noch 48,1 g, 48,12 g und unendlich viele weitere Werte. Die Glockenkurve hat ihren Gipfel beim Erwartungswert \mu, dem theoretischen Mittelwert. Dort liegt auch ihr Symmetriezentrum. Nach links und rechts fällt sie ab und nähert sich der waagerechten Achse. Die gesamte Fläche unter ihr beträgt 1, also 100 %. Die Standardabweichung \sigma beschreibt die typische Streuung um \mu. Ihr Quadrat \sigma^2 heißt Varianz. Oft schreibt man X \sim N(\mu,\sigma^2): Dann steht als zweiter Parameter die Varianz. Prüfe bei anderen Schreibweisen, ob \sigma oder \sigma^2 gemeint ist.

Die Höhe der Kurve an einer Stelle ist keine Wahrscheinlichkeit. Erst die Fläche unter der Kurve über einem Intervall gibt an, wie wahrscheinlich Werte in diesem Intervall sind. Die Verteilungsfunktion F sammelt die Fläche links einer Grenze. Für ein Intervall von a bis b mit a<b ziehst du die kleinere linke Fläche von der größeren ab: P(a\le X\le b)=F(b)-F(a). Weil die Normalverteilung stetig ist, gilt für jeden einzelnen Wert P(X=a)=0. Das heißt nicht, dass der Messwert unmöglich ist. Ein einzelner Punkt hat nur keine Fläche. Bei realen Messungen fragst du deshalb nach einem Intervall, etwa von 59,5 kg bis 60,5 kg. Ob du die Grenzen einschließt oder nicht, ändert die Wahrscheinlichkeit nicht.

Für jede Kombination aus \mu und \sigma bräuchtest du eine eigene Tabelle. Deshalb rechnest du einen Wert x in einen z-Wert um. Er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Erwartungswert entfernt liegt: z=0 heißt genau bei \mu, z=1 eine Standardabweichung darüber, z=-2 zwei Standardabweichungen darunter. Ist X normalverteilt, dann ist Z=\frac{X-\mu}{\sigma} standardnormalverteilt, mit Erwartungswert 0 und Standardabweichung 1. Ihre Verteilungsfunktion heißt \Phi, es gilt \Phi(z)=P(Z\le z). Wegen der Symmetrie ist \Phi(-z)=1-\Phi(z).

Symmetrische Bereiche um \mu liefern schnelle Näherungen, ganz ohne Tabelle. Je weiter ein Wert von \mu entfernt liegt, desto ungewöhnlicher ist er. Mathematisch reicht die Normalverteilung über alle reellen Zahlen. Brenndauern oder Füllmengen können aber nicht negativ sein. Dort ist sie nur ein Näherungsmodell, und die Wahrscheinlichkeit für unmögliche Werte muss vernachlässigbar klein sein. Die Normalverteilung passt als Modell, wenn eine stetige Messgröße untersucht wird und die Daten ungefähr einen einzigen Gipfel haben, links und rechts vom Mittelwert ähnlich verlaufen, sich nahe am Mittelwert häufen und nach außen seltener werden. Starke Schiefe, mehrere getrennte Gipfel oder feste Grenzen mit vielen Randwerten sprechen dagegen. Misst du etwa die Durchmesser vieler Schrauben aus einem stabilen Herstellungsprozess und das Histogramm ist annähernd symmetrisch mit einem Gipfel, lohnt es sich, die Normalverteilung zu prüfen. Ein Beweis ist das aber nicht.